Обернений оператор

Якщо a відображає X на Y, то A⁻¹ відображає Y на X

Обернений оператор до оператора $A$ — оператор, який кожному $y$ із множини значень $\text{Im}A$ оператора $A$ ставить у відповідність єдиний елемент $x$ із області визначення $𝒟(A)$ оператора $A$, який є розв'язком рівняння $Ax=y$. Якщо оператор $A$ має обернений, тобто рівняння $Ax=y$ має єдиний розв'язок за будь-якого $y$ із $\text{Im}A$, то $A$ називають оборотним. Обернений оператор позначають $A^{-1}$Шаблон:Sfn.

Визначення та умови існування

Інше визначення: оператор $B$ називають оберненим до оператора $A$, якщо $BA=I,AB=I$, де $I$ — одиничний оператор. Якщо виконується тільки співвідношення $BA=I$ або тільки $AB=I,$ то оператор $B$ називають лівим оберненим або правим оберненим відповідно. Якщо оператор $A$ має лівий обернений і правий обернений, то вони рівні між собою, а оператор $A$ є оборотнимШаблон:Sfn. Якщо обернений оператор існує, він визначається єдиним чиномШаблон:Sfn.

Оператор $A$ оборотний, якщо він відображає $𝒟(A)$ на $\text{Im}A$ взаємно однозначно, тобто за різних $x\in 𝒟(A)$ набуває різних значень $y$Шаблон:Sfn. Якщо оператор $A$ — лінійний, то для існування оберненого оператора достатньо, щоб $Ax=0$ виконувалося тільки при $x=0$Шаблон:Sfn.

Лінійний оператор (навіть обмежений) може мати обернений, визначений не на всьому просторі. Наприклад, у просторі ${\ell }_2$ лінійний оператор

$A(x_1,x_2,x_3,\dots )=(0,x_1,x_2,\dots )$

має обернений, який визначено для векторів із першою координатою рівною нулю: $x_1=0$Шаблон:Sfn.

Властивості

• $(A^{-1}{)}^{-1}=A.$Шаблон:Sfn
• $(A_1{A}_2{)}^{-1}=A_2^{-1}{A}_1^{-1}.$Шаблон:Sfn
• Оператор $A^{-1}$, обернений до лінійного оператора, також лінійнийШаблон:Sfn.
• $(A^{-1}{)}^{*}=(A^{*}{)}^{-1}$, $A^{*}$ — спряжений операторШаблон:Sfn.

Теореми про обернений оператор

Теорема Банаха

Шаблон:Рамка Нехай $A$ — лінійний обмежений оператор, який взаємно однозначно відображає Банахів простір $E$ на Банахів простір $E_1$. Тоді обернений оператор $A^{-1}$ обмежений. Шаблон:/рамка Теорема Банаха є одним з основних принципів лінійного аналізу. З неї випливає теорема про відкрите відображення: лінійне неперервне відображення $A$ Банахового простору $E$ на (всі) Банахові простори $E_1$ відкритеШаблон:Sfn.

Достатня умова існування оберненого оператора

• Нехай лінійний оператор $A$, який відображає лінійний нормований простір $E$ на лінійний нормований простір $E_1$, задовольняє для будь-якого $x\in E$ умові

$\Vert Ax\Vert \ge m\Vert x\Vert ,$

де $m>0$ — деяка константа. Тоді існує обернений обмежений лінійний оператор $A^{-1}$Шаблон:Sfn.

• Нехай $A$ — лінійний обмежений оборотний оператор, що діє з Банахового простору $E$ в Банахів простір $E_1$ і $\mathrm{\Delta }A$ — лінійний обмежений оператор з $E$ в $E_1$ такий, що $\Vert \mathrm{\Delta }A\Vert <1/\Vert A^{-1}\Vert$. Тоді оператор $B=A+\mathrm{\Delta }A$ має обмежений обернений, причому

$\Vert B^{-1}-A^{-1}\Vert \le \frac{\Vert \mathrm{\Delta }A\Vert }{1-\Vert A^{-1}\Vert \Vert \mathrm{\Delta }A\Vert }\Vert A^{-1}{\Vert }^2$Шаблон:SfnШаблон:Sfn.

• Нехай $E$ — Банахів простір, $I$ — тотожний оператор в $E$, а $A$ — такий лінійний обмежений оператор, який відображає $E$ в себе, що $\Vert A\Vert <1$. Тоді оператор $(I-A{)}^{-1}$ існує, обмежений і подається у вигляді ряду

$(I-A{)}^{-1}=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{A}^k$Шаблон:Sfn.

Приклади

Перетворення Фур'є

$g(\lambda )=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)e^{-i\lambda t}dt$

можна розглядати як лінійний обмежений оператор, що діє з простору $L_2(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$ в себе. Оберненим оператором для нього є обернене перетворення Фур'є

$f(t)=\frac{1}{2\pi }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}g(\lambda )e^{i\lambda t}d\lambda$Шаблон:Sfn.

Оператори інтегрування та диференціювання

Для оператора інтегрування

$Ax=\underset{0}{\overset{t}{\int }}x(\tau )d\tau ,$

який діє в просторі неперервних функцій $C[0,1]$, оберненим буде оператор диференціювання:

$A^{-1}y=\frac{d}{dt}y(t),$

визначений на лінійному многовиді неперервно диференційовних функцій, таких що $y(0)=0$Шаблон:Sfn.

Оператор Штурма — Ліувілля

Для диференціального оператора Штурма — Ліувілля

$Ax=\frac{d}{dt}\{p(t)\frac{dx}{dt}\}+q(t)x,$

визначеного на лінійному многовиді двічі неперервно диференційовних функцій таких, що $x(0)=x(1)=0$, оберненим оператором є інтегральний оператор

$A^{-1}y=\underset{0}{\overset{1}{\int }}G(t,\tau )y(\tau )d\tau ,$

де $G(t,\tau )$ — функція Гріна. $A^{-1}$ — лінійний обмежений оператор у $C[0,1]$Шаблон:Sfn.

Інтегральний оператор

Нехай

$Ax=\underset{0}{\overset{1}{\int }}K(t,s)x(s)ds$

— інтегральний оператор у просторі безперервних функцій $C[0,1]$. За достатньо малих значень параметра $\lambda$ оператор $(I-\lambda A)$ (де $I$ — одиничний оператор) має обмежений обернений

$(I-\lambda A{)}^{-1}y=y(t)+\lambda \underset{0}{\overset{1}{\int }}R(t,s,\lambda )y(s)ds$,

де $R(t,s,\lambda )$ — резольвента ядра $K(t,s)$. Знаючи резольвенту, можна знайти розв'язок інтегрального рівняння

$x(t)=y(t)+\lambda \underset{0}{\overset{1}{\int }}K(t,s)x(s)ds$

за будь-якого вільного члена $y(t)$Шаблон:Sfn.

Обернений оператор у скінченновимірному просторі

Оператор у скінченновимірному просторі оборотний тоді й лише тоді, коли його ранг збігається з розмірністю простору. Інакше кажучи, визначник його матриці відмінний від нуля. Оберненому оператору відповідає обернена матриця.

Див. також

• Лінійне відображення
• Обернена функція
• Ізоморфізм
• Банахів простір
• Лінійний неперервний оператор

Література

• Шаблон:Колмогоров.Фомин
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Нп Обратное отображение // Математическая энциклопедия / И. М. Виноградов (гл. ред.). — М.: Советская энциклопедия, 1982. — Т. 3. — 592 с. — 150 000 экз.