Нормування (алгебра)

В абстрактній алгебрі, а також алгебраїчній теорії чисел і алгебраїчній геометрії, нормування є певною мірою мультиплікативності. Поняття є узагальненням зокрема порядку кореня многочлена, порядку нуля чи полюса в комплексному аналізі і порядку подільності на просте число в арифметиці.

Визначення

Нормуванням комутативного кільця з одиницею $(A,+,\times )$ із значеннями в лінійно впорядкованій абелевій групі $(G,+,<)$ з приєднаним нескінченним елементом $\mathrm{\infty }$ називається відображення $v:A⟶G\cup \{\mathrm{\infty }\}$, що задовольняє таким вимогам:

• $\mathrm{\forall }x\in A,v(x)=\mathrm{\infty }⟺x=0$ ;
• $\mathrm{\forall }x,y\in A,v(xy)=v(x)+v(y)$ ;
• $v(x+y)⩾\min (v(x),v(y))$.

Приєднаний нескінченний елемент задовольняє умови $a<\mathrm{\infty }$ і $a+\mathrm{\infty }=\mathrm{\infty }$ для всіх $a\in G$.

Якщо A є полем, то v є гомоморфізмом групи (A*, ×) в групу (G, +) і образ v(A*) є підгрупою групи G. Обмеживши розгляд лише цією підгрупою можна вважати v сюр'єкцією. Якщо A не є полем, то, образ v(A*) є моноїдом в групі G.

Якщо $G=\mathbb{Z}$ то нормування називається дискретним.

Пов'язані визначення

Нормування Шаблон:Math і Шаблон:Math на кільці A називаються еквівалентними, якщо існує ізоморфізм впорядкованих моноїдів:

$\lambda :v(A^{*})\to v^{\prime }(A^{*})$ для якого $v^{\prime }=\lambda \circ v.$

Якщо розглядати нормування на полі K то множина елементів R, що визначена як $R=\{x\in K|v(x)⩾0\}$ є підкільцем поля K і називається кільцем нормування v в полі K. Кільце нормування завжди є локальним кільцем. Підмножина M поля K, визначена як $m=\{x\in K|v(x)>0\}$ є максимальним ідеалом кільця R. Він називається ідеалом нормування v. Фактор-кільце $R/m$, що є полем, називається полем лишків нормування v.

Нехай в полі K задані нормування Шаблон:Math і Шаблон:Math . Кільця цих нормувань, що розглядаються як підкільця поля K, тоді і тільки тоді збігаються, коли ці нормування еквівалентні. Таким чином, опис всіх (з точністю до еквівалентності) нормувань поля K зводиться до опису всіх таких підкілець, які можуть бути для цього поля кільцями нормування.

Приклади

• Нормування кільця, яке визначається формулою:

$\begin{array}{cccc}v:& A& ⟶& G\cup \{\mathrm{\infty }\}\\ & x& ⟼& \{\begin{array}{cc}\mathrm{\infty }& x=0\\ 0& x\ne 0\end{array}\end{array}$

називається невласним, або тривіальним нормуванням. Для скінченних полів це нормування є єдиним.

• Будь-яке кільце з неархімедовим абсолютним значенням може бути перетворено в нормоване кільце, якщо в моноїді значень перейти від мультиплікативного запису до адитивного і замінити впорядкованість на інверсну. Елемент 0 при цьому природно позначити символом $\mathrm{\infty }$ . Зворотний перехід від кільця з нормуванням до кільця з неархімедовим абсолютним значенням також можливий.
• Якщо в кільці було задано неархімедове абсолютне значення, із значеннями в множині додатних дійсних чисел то нормування можна визначити формулою:

$\mathrm{\forall }x\in A^{*},v(x)=\log |x|.$

• Нехай Шаблон:Math є полем, Шаблон:Math — кільце многочленів з коефіцієнтами з поля Шаблон:Math і Шаблон:Math — елемент поля Шаблон:Math. Порядок кореня многочлена в точці Шаблон:Math визначає нормування:

$\begin{array}{cccc}{v}_a:& K[X]& ⟶& \mathbb{Z}\cup \{\mathrm{\infty }\}\\ & P& ⟼& \sup \{k\in \mathbb{N}|\mathrm{\exists }R\in K[X],P(X)=(X-a{)}^{k}R(X)\}\end{array}$

• Подібним чином можна визначити нормування і на множині Шаблон:Math раціональних функцій з коефіцієнтами з поля Шаблон:Math :

$\begin{array}{cccc}{v}_a:& K(X)& ⟶& \mathbb{Z}\cup \{\mathrm{\infty }\}\\ & P/Q& ⟼& v(P)-v(Q)\end{array}$

• Для простого числа Шаблон:Math можна визначити p-адичне нормування:

$\begin{array}{cccc}{v}_p:& \mathbb{Z}& ⟶& \mathbb{N}\cup \{\mathrm{\infty }\}\\ & n& ⟼& \{\begin{array}{cc}\mathrm{\infty }& n=0\\ \max \{k\in \mathbb{N}|\mathrm{\exists }q\in \mathbb{Z}{p}^{k}q=n\}& n\ne 0\end{array}\end{array}$

Властивості

Якщо Шаблон:Math є комутативним кільцем з одиницею на якому визначено нормування Шаблон:Math, то :

• $v(1)=v(-1)=0$ ;
• $\mathrm{\forall }x,y\in A,v(x-y)⩾\min (v(x),v(y))$ ;
• $\mathrm{\forall }x,y\in A,v(x)\ne v(y)\Rightarrow v(x+y)=\min (v(x),v(y))$ ;
• Шаблон:Math є областю цілісності;
• Нормування Шаблон:Math в єдиний спосіб можна продовжити на поле часток кільця Шаблон:Math :

$\mathrm{\forall }p/q\in \mathrm{F}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{c}(A),w(p/q)=v(p)-v(q)$.

• Для будь-якої лінійно впорядкованої абелевої групи $(G,+,<)$ існує нормування деякого поля, група значень якого ізоморфна $G$.

Топологія нормування поля

Нехай $v:K⟶G\cup \{\mathrm{\infty }\}$, нормування поля K і $V_{\gamma }=\{x\in K|v(x)>\gamma \}$, де $\gamma \in G$. Сукупність усіх $\gamma ,\gamma \in G$ утворює фундаментальну систему околів нуля топології поля K, що називається топологією визначеною нормуванням v. Ця топологія є гаусдорфовою і незв'язною. Топологія, індукована на кільці нормування R, як правило, відрізняється від топології локального кільця. Для нетривіального нормування поля K топологія нормування є локально компактною тоді і тільки тоді, коли нормування v є дискретним, кільце нормування повним, а поле лишків нормування v є скінченним; кільце R при цьому буде компактним.

Поповнення K' поля K щодо топології v є полем. Нормування v неперервно продовжується до нормування $\overline{v}:K⟶G\cup \{\mathrm{\infty }\}$, і топологія поповнення K' збігається з топологією цього нормування. Кільце нормування $\overline{v}$ є поповненням кільця нормування $v$.

Нормування Шаблон:Math і Шаблон:Math поля K називаються незалежними, якщо їх топології нормування є різними. Це еквівалентно тому, що їх кільця нормувань спільно породжують поле K.

Справедлива теорема апроксимації для нормування: нехай $v_i:K⟶G_i\cup \{\mathrm{\infty }\},i=1,...,n$ — незалежні нормування, $a_1,...,a_n\in K$ і ${\gamma }_1,...,{\gamma }_n\in G,$ тоді знайдеться такий елемент $a\in K$, що $v_i(a_i-a)⩾{\gamma }_i$ для всіх i.

Продовження нормувань

Якщо Шаблон:Math — нормування поля L, а K — підполе L, то обмеження $v=v^{\prime }{|}_K$ нормування Шаблон:Math на поле K є нормуванням поля K, а його група значень G — підгрупою групи G'. Шаблон:Math називається при цьому продовженням нормування Шаблон:Math .

Навпаки, якщо Шаблон:Math — нормування, a L — розширення поля K, то завжди існує нормування поля L, що продовжує Шаблон:Math . Індекс $[G^{\prime }:G]$ підгрупи G в групі G' називається індексом розгалуження нормування Шаблон:Math щодо Шаблон:Math і позначається $e(v^{\prime }/v)$. Поле лишків $k_v$ нормування Шаблон:Math ототожнюється з підполем поля лишків $k_v$, степінь розширення $[k_{v^{\prime }}:k_{v^{\prime }}]$ позначається $f(v^{\prime }/v)$ і називається степенем лишків нормування Шаблон:Math щодо Шаблон:Math . Продовження Шаблон:Math нормування Шаблон:Math називається безпосереднім, якщо $e(v^{\prime }/v)=f(v^{\prime }/v)=l$. Нехай L — розширення поля K, а $\{v_i|i\in I\}$ — множина всіх продовжень нормування Шаблон:Math на L. Якщо L — скінченне розширення поля K степеня n, то множина всіх продовжень Шаблон:Math є скінченною, і

$\sum _{i\in I}e(v_i/v)=f(v_i/v)⩽n.$

В ряді випадків цю нерівність можна замінити на рівність, наприклад коли Шаблон:Math є дискретним нормуванням і або K є повним, або L є сепарабельним над K. Якщо L — нормальне розширення K, то продовження Шаблон:Math на L переводяться K-автоморфізмами L, зокрема якщо L — радикальне розширення K, то Шаблон:Math має єдине продовження.

Див. також

• Абсолютне значення (алгебра)
• Кільце дискретного нормування
• Кільце нормування
• Локальне кільце

Посилання

• Шаблон:Springer

Джерела

• Алгебраическая теория чисел. ред. Касселс Д., Фрёлих А. М.: Мир 1969
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Cite book