Лінійно впорядкована множина

Шаблон:Алгебричні структури Лінійно впорядкована множина (ланцюг) — частково впорядкована множина (множина на якій задане $⩽$ відношення нестрогого порядку), в якій для будь-яких двох елементів $a$ і $b$ виконується $a⩽b$ чи $b⩽a.$

Тобто, для $⩽$ вимога рефлексивності посилена до вимоги повноти.

Частковий випадок лінійно впорядкованої множини — цілком впорядкована множина. Іншими словами: лінійний порядок = частковий порядок з умовою повноти.

Лінійний порядок використовується в

• теорії ґраток,
• теорії порядку,
• теорії категорій.

Ланцюг

Термін ланцюг іноді є синонімом лінійно впорядкованої множини, проте може також використовуватись для означення підмножини деякої множини з частковим порядком. Останнє означення має критичне значення у лемі Цорна.

Хай множина всіх підмножин множини цілих, частково впорядкована за відношенням підмножини ($\subset$). Тоді множина $\{I_n:n\in \mathbb{N}\}$, де I_n - множина натуральних чисел менших за n — ланцюг, лінійно впорядокований за $\subset$: $n\le k\Rightarrow I_n\subset I_k$.

Приклади

• Кардинальні та порядкові числа є лінійно впорядкованими (точніше цілком впорядкованими).
• Множина $ℝ$ дійсних чисел зі звичайним відношенням порядку є лінійно впорядкованою множиною. Це — надзвичайно важлива властивість дійсних чисел. Виявляється, що існування відношення порядку сумісного з арифметичними операціями й задовільняючого певним додатковим вимогам може буде застосовано для визначення (або характеризації) поля дійсних чисел.

• Натуральні числа, цілі числа, раціональні числа, алгебраїчні числа, ірраціональні числа тощо всі є підмножинами дійсних чисел, тому утворюють лінійно впорядковані множини зі звичайним відношенням порядку. Кожна з цих множин є єдиним прикладом найменшої лінійно впорядкованої множини, що має деяку додаткову властивість:
  • Натуральні числа — найменша лінійно впорядкована множина, що не має верхньої межі.
  • Цілі числа — найменша лінійно впорядкована множина, що не має ні верхньої, ні нижньої межі.
  • Раціональні числа — найменша лінійно впорядкована множина, що не має ні верхньої, ні нижньої межі та є щільною.
  • Дійсні числа — найменша лінійно впорядкована множина, що не має ні верхньої, ні нижньої межі та є зв'язною.

Джерела

• Шаблон:Хаусдорф.Теория множеств
• Шаблон:Куратовский.Мостовский.Теория множеств
• Шаблон:Александров.Введение в теорию множеств и общую топологию