Квадратний корінь

Шаблон:Універсальна картка Квадра́тний ко́рінь з числа Шаблон:Math — це число (матриця, функція, оператор тощо), квадрат якого (результат множення на себе) дорівнює Шаблон:Math. Квадратний корінь часто називають просто корінь.

Серед чисел, квадрат яких дорівнює додатному числу $x$, обов'язково є додатне число (крім 0). Це число називається арифметичним значенням квадратного кореня і позначається символом $\sqrt{x}$ або як $x^{\frac{1}{2}}$.

$\sqrt{121}=11$

$\sqrt{9}=3$

Число $-\sqrt{x}$ теж є квадратним коренем.

В загальному випадку, коли $x$ — будь-який алгебраїчний вираз, символом $\sqrt{x}$ позначається один із коренів, той для якого дійсна частина додатна.

При визначенні квадратного кореня з числа завжди існує дві відповіді. Винятком є число 0. Це показують ставлячи перед відповіддю одночасно знак плюс та мінус.

Квадратний корінь як елементарна функція

Графік функції Шаблон:Math

Квадратний корінь є елементарною функцією і є окремим випадком степеневої функції Шаблон:Math з Шаблон:Math. Арифметичний квадратний корінь є гладким при Шаблон:Math, в нулі ж він неперервний справа, але не диференційовний.Шаблон:Sfn

Як функція комплексної змінної корінь — двозначна функція, листи якої з'єднуються в нулі.

У геометричному сенсі, функція f(x) = Шаблон:Sqrt квадратного кореня співвідносить площу квадрата до довжини його сторони.

Для всіх дійсних чисел x

$\sqrt{x^2}=\left|x\right|=\{\begin{array}{cc}x,& \text{if }x\ge 0\\ -x,& \text{if }x<0.\end{array}$     (див. абсолютне значення)

Для всіх не від'ємних дійсних чисел x і y,

$\sqrt{xy}=\sqrt{x}\sqrt{y}$

і

$\sqrt{x}=x^{1/2}.$

Функція квадратного кореня є неперервною для всіх не від'ємних значень x і диференційована для всіх додатних x. Якщо f позначає функцію квадратного кореня, тоді її похідна буде мати такий вигляд:

$f^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}.$

Ряд Тейлора для Шаблон:Sqrt при x = 0 буде збіжним для $\left|x\right|$ ≤ 1 і буде визначений так:

$\sqrt{1+x}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n(2n)!}{(1-2n)(n!{)}^2(4^n)}{x}^n=1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}{x}^2+\frac{1}{16}{x}^3-\frac{5}{128}{x}^4+\dots ,$

Квадратний корінь невід'ємного числа використовується для визначення Евклідової норми (і відстані), а також у таких узагальненнях як Гільбертів простір. Вона визначає важливе поняття стандартного відхилення, що використовується в теорії ймовірностей і статистиці.

Узагальнення

Квадратні корені вводяться як розв'язок рівнянь вигляду $x\circ x=a$ і для інших об'єктів: матриць, функцій, операторів тощо. Операцією $\circ$ при цьому можуть бути достатньо довільні мультиплікативні операції, наприклад, суперпозиція.

В алгебрі використовується таке формальне визначення: нехай $(G,\cdot )$ — групоїд і $a\in G$. Елемент $x\in G$ називається квадратним коренем з $a$ якщо $x\cdot x=a$.

Квадратний корінь в елементарній геометрії

Квадратні корені тісно пов'язані з елементарною геометрією: якщо дано відрізок довжиною 1, то з допомогою циркуля та лінійки можна побудувати ті й тільки ті відрізки, довжина яких записується виразами, що містять цілі числа, знаки чотирьох дій арифметики, квадратні корені та нічого крім цього.Шаблон:Sfn

Квадратний корінь в інформатиці

У багатьох мовах програмування функціонального рівня (а також мовах розмітки типу [[LaTeX|Шаблон:LaTeX]]) функція квадратного кореня позначається як sqrt (від Шаблон:Lang-en «квадратний корінь»).

Алгоритми знаходження квадратного кореня

Знаходження або обчислення квадратного кореня заданого числа називається добуванням (квадратного) кореня.

Розклад у ряд Тейлора

$\sqrt{1+x}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n(2n)!}{(1-2n)(n!{)}^2(4^n)}{x}^n=1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}{x}^2+\frac{1}{16}{x}^3-\frac{5}{128}{x}^4+\dots ,$ при $|x|⩽1$.

Груба оцінка

Багато алгоритмів обчислення квадратних коренів з додатного дійсного числа Шаблон:Mvar потребують деякого початкового значення. Якщо початкове значення занадто далеко від справжнього значення кореня, обчислення сповільнюються. Тому корисно мати грубу оцінку, яка може бути дуже неточною, але легко обчислюватися. Якщо Шаблон:Math, нехай Шаблон:Mvar буде кількістю цифр Шаблон:Mvar зліва від десяткової коми. Якщо Шаблон:Math, нехай Шаблон:Mvar буде кількістю нулів, які йдуть підряд, справа від десяткової коми, взяту зі знаком мінус. Тоді груба оцінка матиме вигляд:

Якщо Шаблон:Mvar непарне, Шаблон:Math, тоді використовуємо $\sqrt{S}\approx 2\cdot 10^n.$

Якщо Шаблон:Mvar парне, Шаблон:Math, тоді використовуємо $\sqrt{S}\approx 6\cdot 10^n.$

Два і шість використовуються тому, що $\sqrt{\sqrt{1\cdot 10}}=\sqrt[4]{10}\approx 2$ і $\sqrt{\sqrt{10\cdot 100}}=\sqrt[4]{1000}\approx 6.$

При роботі в двійковій (яка використовується комп'ютерами), слід використовувати іншу оцінку $2^{\lfloor D/2\rfloor }$ (тут Шаблон:Mvar — кількість двійкових цифр).

Геометричне добування квадратного кореня

$|BH|=\sqrt{|AH|\cdot |HC|}$

Зокрема, якщо $|AH|=1$, а $|HC|=x$, то $|BH|=\sqrt{x}$Шаблон:Sfn

Ітераційний аналітичний алгоритм

$\{\begin{array}{c}{x}_0=a\\ x_{n+1}=\frac{1}{2}(x_n+\frac{a}{x_n})\end{array}$

тоді $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=\sqrt{a}$.

Квадратні корені від'ємних і комплексних чисел

Шаблон:Multiple image Шаблон:Clear Квадрат будь-якого додатного або від'ємного числа буде додатнім, а квадрат 0 це 0. Тому, від'ємне число не може мати квадратного кореня у вигляді дійсного числа. Однак, існує можливість представити його і вести розрахунки у вигляді спеціальних чисел, що називаються комплексними числами, коли не немає розв'язку для квадратного кореня від'ємних чисел. Для цього вводиться поняття нового числа, що позначається як i (іноді як j, особливо в контексті розрахунку електричного струму де літера "i" традиційно позначає електричний струм) і називається уявною одиницею, що визначена таким чином, що Шаблон:Nowrap. Використовуючи цю нотацію, ми будемо вважати що i це результат квадратного кореня від −1, але зауважимо, що ми також можемо мати ситуацію, що Шаблон:Nowrap тому −i також є квадратним коренем від −1. Загальноприйнято, що головним квадратним коренем від −1 є i, або в більш загальному випадку, якщо x є будь-яке невід'ємне число, тоді головним квадратним коренем числа −x є

$\sqrt{-x}=i\sqrt{x}.$

Права частина і насправді є квадратним коренем із −x, оскільки

$(i\sqrt{x}{)}^2=i^2(\sqrt{x}{)}^2=(-1)x=-x.$

Для будь-якого не нульового комплексного числа z існує рівно два числа w, таких що Шаблон:Nowrap: головний (додатний) квадратний корінь z, і його від'ємний варіант.

Квадратний корінь уявного числа

Квадратні корені числа i в комплексній площині

Квадратний корінь числа Шаблон:Mvar буде таким

$\sqrt{i}=\frac{1}{2}\sqrt{2}+i\frac{1}{2}\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i).$

Цей можна отримати алгебраїчним шляхом знайшовши дійсні числа a і b, такі що

$i=(a+bi{)}^2$

або еквівалентно

$i=a^2+2abi-b^2.$

Це приводить до появи системи двох рівнянь

$\{\begin{array}{c}2ab=1\\ a^2-b^2=0\end{array}$

що мають такий розв'язок:

$a=b=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}.$

Якщо вибрати з них головний (додатній) корінь, отримаємо

$a=b=\frac{\sqrt{2}}{2}.$

Результат також можна отримати, якщо використати формулу Муавра і задати

$i=\cos \left(\frac{\pi }{2}\right)+i\sin \left(\frac{\pi }{2}\right),$

що приводить до

$\begin{array}{cc}\sqrt{i}& ={(\cos \left(\frac{\pi }{2}\right)+i\sin \left(\frac{\pi }{2}\right))}^{\frac{1}{2}}\\ & =\cos \left(\frac{\pi }{4}\right)+i\sin \left(\frac{\pi }{4}\right)\\ & =\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}\\ & =\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i).\\ \end{array}$

Див. також

• Квадратний корінь з двох
• День квадратного кореня
• Вкладені радикали

Посилання

• Алгоритми обчислення квадратного кореня Шаблон:WebarchiveШаблон:Ref-en
• A geometric view of the square root algorithm Шаблон:WebarchiveШаблон:Ref-en
• Соловьев Ю., Старый алгоритм Шаблон:WebarchiveШаблон:Ref-ru

Література

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Шаблон:КнигаШаблон:Ref-ru