Вкладені радикали

В алгебрі вкладеним радикалом називають радикал, що міститься в іншому радикалі. Наприклад

$\sqrt{5-2\sqrt{5}},$

або складніший приклад

$\sqrt[3]{2+\sqrt{3}+\sqrt[3]{4}}.$

Значення всіх вкладених радикалів називають виразни́ми в радикалах.

Спрощення вкладених радикалів

Деякі вкладені радикали можна спростити. Наприклад:

$\sqrt{3+2\sqrt{2}}=1+\sqrt{2},$

$\sqrt[3]{\sqrt[3]{2}-1}=\frac{1-\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{9}}.$

У загальному випадку спрощення є складною проблемою, якщо воно взагалі можливе. Коли $R=\sqrt{a^2-b^{2}c}$ раціональне, зробити спрощення дозволяє така формула:

$\sqrt{a\pm b\sqrt{c}}=\sqrt{\frac{a+R}{2}}\pm \sqrt{\frac{a-R}{2}}.$

Наприклад,

$\sqrt{a\pm \sqrt{a^2-b^2}}=\sqrt{\frac{a+b}{2}}\pm \sqrt{\frac{a-b}{2}}(|a|\ge |b|).$

Зокрема, для комплексних чисел ($c=-1$):

$\sqrt{a+bi}=\pm (\sqrt{\frac{\left|z\right|+a}{2}}+i\mathrm{sgn}(b)\sqrt{\frac{\left|z\right|-a}{2}}),$ де $\left|z\right|=\sqrt{a^2+b^2}.$

Нескінченно вкладені радикали

Загальні положення

У деяких випадках нескінченно вкладені радикали можуть бути тотожними деякому раціональному числу, наприклад вираз

$x=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots }}}}$

дорівнює 2. Для того щоб це побачити, піднеседемо обидві частини виразу до квадрата і віднімемо 2:

$x^2-2=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots }}}=x$;

$x^2-x-2=0$;

$x_1=2,x_2=-1$.

Очевидно, що $-1$ не може бути значенням вихідного радикала.

Тривіальні випадки

• Для квадратного кореня:

  $\sqrt{a+b\sqrt{a+b\sqrt{a+b\sqrt{a+b\sqrt{\cdots }}}}}=\frac{b+\sqrt{b^2+4a}}{2}$;

• Для кореня степеня $n$

  $\sqrt[n]{a+b\sqrt[n]{a+b\sqrt[n]{a+b\sqrt[n]{a+b\sqrt[n]{\cdots }}}}}=x,$

  де $x$ є розв'язком рівняння $x^n-bx-a=0$.

Нетривіальні випадки

• Формула Рамануджана:

  $x+n+a=\sqrt{ax+(n+a{)}^2+x\sqrt{a(x+n)+(n+a{)}^2+(x+n)\sqrt{a(x+2n)+(n+a{)}^2+(x+2n)\sqrt{\cdots }}}}$

Окремі випадки

• Золотий перетин:

  $\varphi =\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{\cdots }}}}$

• Пластичне число:

  $\rho =\sqrt[3]{1+\sqrt[3]{1+\sqrt[3]{1+\sqrt[3]{\cdots }}}}$

• Число пі:

  $\frac{2}{\pi }=\sqrt{\frac{1}{2}}\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}}}\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}}}}\cdots$

Посилання

• Шаблон:MathWorld
• Шаблон:MathWorld
• Decreasing the Nesting Depth of Expressions Involving Square Roots Шаблон:Ref-en
• Simplifying Square Roots of Square Roots Шаблон:Webarchive Шаблон:Ref-en