Арифметика

Матеріал з testwiki
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Шаблон:Unibox Файл:Magnitsky.djvu Арифме́тика[1], або аритме́тика[2] (Шаблон:Lang-grc — мистецтво лічби, вчення про числа, від Шаблон:Lang-grc — число) — наука про числа, їхні властивості й операції над ними[3][4].

Арифметика розглядає дії над цілими числами, вчить розв'язувати задачі, які зводяться до додавання, віднімання, множення і ділення цих чисел. Арифметику часто вважають першою сходинкою математики, знаючи яку можна вивчати складніші її розділи — алгебру, математичний аналіз тощо. Навіть цілі числа — основний об'єкт арифметики — відносять, коли розглядають їхні загальні властивості і закономірності, до вищої арифметики, чи теорії чисел.

Предмет арифметики

Предметом арифметики є числові множини, властивості чисел і дії над числами[4]. До неї належать також питання, пов'язані з технікою обрахунку, вимірюваннями[5], походженням і розвитком поняття числа[6]. Арифметика вивчає натуральні та раціональні числа, або дроби[7]. На базі аксіоматичної структури множин натуральних чисел здійснюється побудова інших числових множин, включаючи цілі, дійсні та комплексні числа, проводиться їхній аналіз[6]. Інколи в рамках арифметики розглядають також кватерніони й інші гіперкомплексні числа. Водночас з теореми Фробеніуса випливає, що розширення поняття числа за межі комплексної площини без втрати якихось його арифметичних властивостей є неможливимШаблон:SfnШаблон:Sfn.

До основних дій над числами належать додавання, віднімання, множення і ділення[4], рідше сюди відносять піднесення до степеня, добування кореня[5] та розв'язування числових рівнянь[8]. Історично до списку арифметичних дій включали також власне обчислення, подвоєння (крім множення), ділення на два й ділення з остачею (крім ділення), пошук суми арифметичної і геометричної прогресій[9]. Дж. Непер у своїй книзі «Логістичне мистецтво» розділив арифметичні дії за ступенями. На нижчому ступені перебувають додавання й віднімання, на наступному — множення й ділення, далі — піднесення до степеня й добування коренівШаблон:Sfn. Відомий методист І. В. Арнольд до операцій третього ступеня зачисляв також логарифмуванняШаблон:Sfn. Традиційно арифметикою називають виконання операцій над різними об'єктами, як от: «арифметика квадратичних форм», «арифметика матриць»[6].

Власне математичні розрахунки та вимірювання, що є необхідними для практичних потреб, такі як пропорції, проценти тощо, зачисляють до нижчої або практичної арифметики[8], у той час як логічний аналіз поняття числа відносять до теоретичної арифметики[6]. Властивості цілих чисел, ділення їх на частини, побудова неперервних дробів є складовою частиною теорії чисел[6], яку тривалий час вважали вищою арифметикою[8]. Арифметика також є тісно пов'язаною з алгеброю, яка вивчає власне операції без врахування особливостей і властивостей чисел[6][7]. Такі арифметичні дії, як піднесення до степеня та добування коренів, є технічною частиною алгебри. З цього погляду, слідом за Ньютоном і Гаусом, алгебру прийнято вважати узагальненням арифметики[5][8]. Взагалі-то, чітких граней між арифметикою, елементарною алгеброю і теорією чисел не існує.

Як і інші академічні дисципліни, арифметика має справу з принциповими методологічними проблемами; для неї є необхідним дослідження питань несуперечності та повноти аксіом[8]. Логічними побудовами формальної системи предикатів і аксіом арифметики займається формальна арифметика[10].

Арифметика в школі

Арифметика є також назвою шкільної дисципліни, яка знайомить з додатними раціональними числами, арифметичними діями з ними та деякими відомостями про подільність цілих чисел. Навчання арифметики розвиває логічне мислення дітей, їхню кмітливість, дає необхідну підготовку до практичної діяльності та подальшого вивчення математики й фізики. У середній школі вивчають також числа від'ємні раціональні, ірраціональні й алгебраїчні. Відповідні розділи теорії чисел прийнято об'єднувати в навчальну дисципліну вищої педагогічної школи під назвою теоретична арифметика.

Історія арифметики

Джузеппе Пеано у 1889 році сформулював аксіоми натуральних чисел

Шаблон:Main Арифметика і геометрія — давні супутники людини. Ці науки з'явилися тоді, коли виникла необхідність рахувати предмети, вимірювати земельні ділянки та час. Арифметика виникла в країнах стародавнього Сходу: Вавилоні, Китаї, Індії, Єгипті. Наприклад, єгипетський папірус Рінда (названий на ім'я його власника Г. Рінда) належить до ХХ ст. до н. е. Серед інших відомостей він містить розклад дробів на суму дробів з чисельником — одиницею (див. Єгипетські дроби), наприклад:

273=160+1219+1292+1365

Математичні знання накопичені в країнах стародавнього Сходу розвивалися далі вченими давньої Греції. Історія зберегла імена багатьох вчених, які займалися арифметикою в античному світі: Анаксагор, Зенон, Евклід, Архімед, Ератосфен, Діофант. Особливо варто виділити ім'я Піфагора, Піфагорійці (учні й послідовники Піфагора) обожнювали числа, вважаючи, що в них міститься вся гармонія світу. Окремим числам і парам чисел приписувалися особливі властивості. У великій пошані були числа 7 і 36, тоді ж було звернуто увагу на так звані досконалі числа, дружні числа тощо.

У стародавньому світі математиці бракувало зручної системи числення: єгипетська, грецька та римська системи числення були непозиційними. Позиційними були шумерсько-вавилонсько система (на основі числа 60) та система майя (на основі числа 20), хоча в них замість цифр використовувалась адитивна система із ліній та точок.

У середньовіччі розвиток арифметики також пов'язаний зі Сходом: Індією, арабським світом та Середньої Азії. Від індійців прийшли до нас десяткова система числення, сучасні цифри (використовувались в творах Аріабхата I (початок VI ст.)), нуль (Брамагупта VII ст.); від аль-Каші (XV ст.), що працював у Самаркандській обсерваторії Улугбека, — десяткові дроби.

Уперше в Європі арабські цифри були згадані у Вігіліанському кодексі в 976, хоча використання їх почалось із твору італійського вченого Леонардо Пізанського (Фібоначчі) «Книга абака» (1202), що ознайомив європейців з основними досягненнями математики Сходу і започаткував багато досліджень в арифметиці й алгебрі. Так завдяки розвитку торгівлі і впливу східної культури починаючи з XIII ст. підвищується інтерес до арифметики і в Європі. Арифметика входила до семи вільних мистецтв, які викладалися у середньовічних університетах.

Водночас із винаходом книгодрукування (середина XV ст.) з'явилися перші друковані книги з математики. Перша друкована книга з арифметики була видана в Італії в 1478 році. У «Повній арифметиці» німецького математика Михаеля Штифеля (початок XVI ст.) вже є від'ємні числа та навіть ідея логарифмування. Приблизно з XVI ст. розвиток арифметики зливається з алгеброю. Значними подіями були праці Франсуа Вієта, у яких числа позначені літерами. Починаючи з цього часу основні арифметичні правила усвідомлюються вже остаточно з позицій алгебри.

В XVI—XVII ст. найсприятливіші умови для розвитку науки склалися в західно-європейських країнах. Тут у зв'язку з розвитком алгебри входять у вжиток від'ємні числа, впроваджуються комплексні числа, відкриваються ланцюгові і, вдруге, десяткові дроби. Поступово поняття числа абстрагується від конкретних процесів лічби певних предметів та вимірювання, і числа вже не розглядаються як «іменовані». У XVIII ст. переважно завдяки дослідженням Леонарда Ейлера теорія чисел стає самостійною науковою дисципліною. В XIX ст. дослідження складних питань теорії чисел привели до значного узагальнення поняття цілого числа (Карл Гаусс, Ернст Куммер, Юліус Дедекінд, Є. І. Золотарьов) і певного завершення теорії подільності. У зв'язку з цим український математик Г. Ф. Вороний і німецький математик Герман Мінковський подали важливе узагальнення алгоритму ланцюгових дробів. Геометрична інтерпретація комплексних чисел, відома з початку століття, забезпечила їм права громадянства в алгебрі та математичному аналізі і стала основою подальших узагальнень. У свою чергу, сучасні теорії дійсного числа розроблено у зв'язку з потребами арифметики і математичного аналізу на основі властивостей раціональних чисел (Юліус Дедекінд, Георг Кантор, Карл Веєрштрас). Тільки наприкінці XIX ст. досить повно розроблено аксіоматику натуральних чисел і дій з ними (в основному Джузеппе Пеано).

Загальний опис

Основний об'єкт арифметики — число. Натуральні числа виникли з рахунку конкретних предметів. Минуло багато тисячоліть, перш ніж люди засвоїли, що два птахи, дві руки, двоє людей можна назвати одним і тим же словом — «два». Важливе завдання арифметики — навчитися абстрагуватися від форми предметів, їх розміру, кольору. Вже у Фібоначчі є задача: «Сім жінок йдуть у Рим. У кожної по 7 мулів, кожен мул несе по 7 мішків, в кожному мішку по 7 хлібів, в кожному хлібі 7 ножів, кожен ніж в 7 ножнах. Скільки всіх?» Для розв'язку цієї задачі підсумувати різні сутності, додати жінок до мулів, мішки до хлібів тощо. Розвиток поняття числа — поява нуля і від'ємних чисел, звичайних і десяткових дробів, способи запису чисел (цифри, позначення, системи числення) — все це має багату і цікаву історію.

У арифметиці числа додають, віднімають, множать і ділять. Мистецтво швидко і безпомилково виконувати ці дії над будь-якими числами довго вважалося найважливішим завданням арифметики. У наш час усно чи на папері ми робимо лише найпростіші обчислення, а складніші — за допомогою обчислювальної техніки. Математичні операції можуть бути записані з використанням відповідних символів «+», «—», «×» і «÷» та знаку рівності "=", наприклад

3 + 4 × 5 = 23.

Записані таким чином арифметичні операції виконуються в певному порядку, який називають черговістю операцій — спочатку множення і ділення, а потім додавання і віднімання. Послідовність виконання операцій можна змінити за допомогою дужок.

Позиційна система числення дозволила спростити арифметичні операції, зводячи їх до дій із цифрами в одному розряді, тому практично для виконання обчислень досить пам'ятати результати операції додавання у межах 20, і табличку множення у межах 100.

Для подальшого спрощення арифметичних операції традиційно до винаходу калькуляторів використовувалися рахівниці, а для множення — логарифмічні лінійки.

Серед важливих понять, які запровадила арифметика, були пропорції та відсотки. Більшість понять і методів арифметики ґрунтується на залежностях між числами. У історії математики процес злиття арифметики і геометрії відбувався протягом багатьох століть. Можна чітко простежити «геометризацію» арифметики: складні правила і закономірності, виражені формулами, стають зрозумілішими, якщо вдається зобразити їх геометрично. Велику роль у самій математиці і її застосуваннях відіграє зворотний процес — переклад геометричної інформації на мову чисел. В основі цього перекладу лежить ідея французького філософа і математика Рене Декарта визначення точок на площині координатами. Зрозуміло, до нього ця ідея вже використовувалася, наприклад у морській справі, коли треба було визначити місцезнаходження корабля, а також астрономії, геодезії. Але саме від Декарта і його учнів йде послідовне застосування мови координат. І в наш час при управлінні складними процесами (наприклад, польотом космічного апарата) воліють мати всю інформацію в вигляді чисел, які й обробляє обчислювальна машина.

Практична арифметика

Практична сторона арифметики включає в себе методи, схеми і алгоритми для здійснення точних арифметичних дій, у тому числі використання лічильних машин та інших пристроїв, а також різні прийоми наближених обчислень, які з'явилися у зв'язку з неможливістю отримати точний результат при деяких вимірюваннях і дозволяють визначити його порядок, тобто перші значущі цифриШаблон:Sfn.

Шаблон:Center

Точні методи

Починаючи з XV століття пропонувалися різні алгоритми для здійснення арифметичних операцій над багатозначними числами, які відрізняються характером запису проміжних обчислень[6]. Арифметичні алгоритми побудовані на чинній позиційній системі числення, коли будь-яке позитивне дійсне число x єдиним способом може бути представлене у вигляді

x=(an−1an−2…a1a0,a−1a−2…)b=∑k=−∞n−1akbk де a — наступна цифра запису числа x, b — основа системи числення, n — кількість розрядів цілої частини числа x.

Усі дії над числами використовують таблиці додавання і множення до десяти та основні арифметичні закони. Як ілюстрацію відомий популяризатор науки Ф. Клейн наводить такий приклад:

7⋅12=7⋅(10+2)=70+14=70+(10+4)=(70+10)+4=80+4=84,

у якому використовуються розподільчий та сполучний закониШаблон:Sfn.

Потреба у швидких і точних обчисленнях привела до створення найпростіших обчислювальних пристроїв: абака, суаньпаня, юпани або рахівниці. Наступним кроком було створення Вільямом Отредом у 1622 році логарифмічної лінійки, яка дозволила здійснювати множення і ділення[11].

Комп'ютерна арифметика

Копія обчислювальної машини Шиккарда

Кнут вважав арифметичні дії «справою комп'ютерів»Шаблон:Sfn. Перші обчислювальні машини, що дозволяли механізувати чотири арифметичні дії, були сконструйовані у XVII ст. «Арифметична машина» Шиккарда, як він сам її називав, була виготовлена у 1623 році. Операції додавання та віднімання проводились з використанням обертових циліндрів, спеціальні циліндри були також для множення та ділення. Крім того, машина могла переносити десятки. Сумувальна машина Паскаля була розроблена ним у 1642 році для допомоги батькові у виконанні фінансових розрахунків. Вона мала той же принцип роботи, що і машина Шиккарда. Основну частину машини становив механізм перенесення десятків. Разом з тим ремеслене виготовлення таких машин все ще залишалось невигіднимШаблон:Sfn. Спроби удосконалити арифмометр тривали усе XVIII ст., але лише у XIX ст. використання арифмометрів стало поширенимШаблон:Sfn.

У XX ст. на зміну арифмометрам прийшли електронні обчислювальні машини. В основі їх роботи лежать алгоритми, що використовують найменшу кількість елементарних операцій для виконання арифметичних дій[6]. Комп'ютерна арифметика включає алгоритми виконання операцій над числами з рухомою комою, дробами та дуже великими числамиШаблон:Sfn.

Вимірювання

Крім предметів, які підлягають обліку, існують предмети, які можна виміряти, в першу чергу це довжина і масаШаблон:Sfn. Як і при обліку, першими мірами довжини у людини були пальці рук. Згодом відстань почали вимірювати кроками, подвійними кроками, милями (тисяча подвійних кроків), стадіями. Крім того, для вимірювання довжини використовували лікті, долоні, сажні, дюйми. У різних регіонах встанавлювались свої системи мір, що рідко були кратними десятиШаблон:Sfn. Різноманіття мір, зокрема, дозволяло обходитись без використання дробівШаблон:SfnШаблон:Sfn. Торгова арифметика включала в собі вміння оперувати величинами (грошовими одиницями, одиницями мір і ваг) у недесятковій системі численняШаблон:Sfn.

Наприкінці XVIII століття французьким революційним урядом започатковане запровадження метричної системи, в основі якої лежить десяткова система числення. Наразі, окрім мір часу і кута, усі інші одиниці мір пов'язані з десятковою системоюШаблон:Sfn.

Наближені методи

Історично наближені обчислення виникли при пошуку довжини діагоналі одиничного квадрата, але набули поширення при переході до десяткової системи і використанні кінцевих десяткових дробів замість ірраціональних чисел і чисел, виражених нескінченним періодичним дробомШаблон:Sfn.

Для оціночних обчислень використовують, у першу чергу, закони монотонності. Наприклад, щоб визначити порядок добутку 567⋅134, можна скористатись такою оцінкою 560⋅130<567⋅134<570⋅140Шаблон:Sfn.

Див. також

Шаблон:Вікіцитати1

Примітки

Шаблон:Reflist

Література

Шаблон:Вільні мистецтва Шаблон:Розділи математики

  1. ↑ Шаблон:ВУЕ
  2. ↑ Шаблон:Cite book Шаблон:Webarchive
  3. ↑ «Арифметика» Шаблон:Webarchive в УРЕ
  4. ↑ 4,0 4,1 4,2 «Арифметика» Шаблон:Webarchive в ЕСУ
  5. ↑ 5,0 5,1 5,2 Шаблон:Cite webШаблон:Ref-en
  6. ↑ 6,0 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6 6,7 Шаблон:Книга
  7. ↑ 7,0 7,1 Шаблон:Cite web
  8. ↑ 8,0 8,1 8,2 8,3 8,4 Арифметика, наука //Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона: в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
  9. ↑ Шаблон:Книга
  10. ↑ Шаблон:Книга
  11. ↑ Шаблон:Cite web
Отримано з https://uk.wiki.beta.math.wmflabs.org/w/index.php?title=Арифметика&oldid=215