Знакопереміжний ряд

Шаблон:Не плутати Шаблон:Числення Знакоперемі́жний ряд — математичний ряд, члени якого почергово набувають значень із протилежними знаками:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n-1}{b}_n,b_n>0$.

Як і будь-який ряд, знакопереміжний ряд є збіжним тоді і тільки тоді, коли відповідна послідовність часткових сум є збіжною.

Приклади

Геометричний ряд 1/2-1/4+1/8-1/16+ $\cdots$ є збіжним до 1/3.

Знакопереміжний гармонічний ряд має скінченну суму, а гармонічний ряд  — ні.

Ряд Меркатора надає аналітичний вираз для натурального логарифму:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}{x}^n=\ln (1+x).$

Функції синус і косинус, що використовуються в тригонометрії, в математичному аналізі можна визначити як знакопереміжні ряди, попри те, що в елементарній алгебрі вони вводяться як відношення сторін прямокутного трикутника. Дійсно,

$\sin x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$, та

$\cos x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}.$

Якщо з цих рядів вилучити закопереміжний коефіцієнт $(-1{)}^n$, то отримаємо гіперболічні функції $sh$ і $ch$, що використовуються в математичному аналізі.

Для цілого чи додатного індексу $\alpha$ функцію Бесселя першого роду можна визначити за допомогою закопереміжного ряду

$J_{\alpha }(x)=\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^m}{m!\mathrm{\Gamma }(m+\alpha +1)}{\left(\frac{x}{2}\right)}^{2m+\alpha },$

де $\mathrm{\Gamma }(z)$ — це гамма-функція.

Якщо $s$ — комплексне число, тоді функція Діріхле подається у вигляді знакопереміжного ряду

$\eta (s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}}{n^s}=\frac{1}{1^s}-\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}-\frac{1}{4^s}+\cdots ,$

що використовується в аналітичній теорії чисел.

Ознака Лейбніца

Ознака Лейбніца — ознака збіжності знакопереміжного ряду, встановлена Готфрідом Лейбніцем. Формулювання теореми: нехай дано знакопереміжний ряд

$S=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n-1}{b}_n,b_n\ge 0$,

для якого виконуються такі умови:

1. $b_n\ge b_{n+1}$, починаючи з деякого номера ($n\ge N$),
2. $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{b}_n=0.$

Тоді такий ряд збігається.

Зауваження

Ряди, що задовольняють ознаці Лейбніца, називаються рядами Лейбніца.

Слід зазначити, що монотонне спадання до нуля не є необхідним для збіжності знакопереміжного ряду (тоді як для довільного ряду умова $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{b}_n=0$ є саме необхідною умовою): ця ознака є достатньою, але не обов'язковою (наприклад, ряд $\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n+(-1{)}^n}$ збігається).

Ряд Лейбніца може абсолютно збігатися (якщо збігається ряд $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$), а може збігатися умовно (якщо ряд із модулів розбігається).Шаблон:Hidden

Приклад

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n+1}\frac{1}{n}$. Ряд з модулів має вигляд $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}$ — це гармонічний ряд, який розбігається.

Тепер скористаємося ознакою Лейбніца:

1. знакопереміжність виконано;
2. $\frac{1}{n+1}<\frac{1}{n},\mathrm{\forall }n$;
3. $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{n}=0$.

Отже, оскільки всі умови виконано, ряд збігається (причому умовно, оскільки ряд з модулів розбіжний).

Оцінка залишку ряду Лейбніца

З теореми Лейбніца випливає наслідок, який дозволяє оцінити похибку обчислення неповної суми ряду (залишок ряду):

$S_n=\sum _{i=1}^n(-1{)}^i{b}_i.$

Залишок збіжного знакопереміжного ряду $R_n=S-S_n$ буде за модулем меншим від першого відкинутого доданку:

$\left|R_n\right|<b_{n+1}.$

Знакозмінний ряд

Знакопереміжні ряди також іноді називають знакозмінними, проте цей термін може також означати будь-які ряди, які мають одночасно нескінченне число додатних і від'ємних членів.

Наближені суми

Наведена вище оцінка не залежить від $n$. Отже, якщо {$a_n$} монотонно збігається до $0$, то оцінка абсолютної похибки для наближення нескінченних сум частковими є такою:

$|\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k{a}_k-\sum _{k=0}^m(-1{)}^k{a}_k|\le |a_{m+1}|.$

Абсолютна збіжність

Ряд $\sum a_n$ абсолютно збіжний, якщо ряд $\sum |a_n|$ — збіжний.

Теорема: Абсолютно збіжний ряд є збіжним.

Умовна збіжність

Ряд називають умовно збіжним, якщо він є збіжним, але не є абсолютно збіжним.

Наприклад, гармонічний ряд

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n},$

розбіжний, тоді як його знакопереміжна версія

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n},$

збігається за ознакою Лейбніца.

Перестановки

Для будь-якого ряду можна утворити новий ряд перестановкою порядку сумування. Ряд називається безумовно збіжним, якщо після будь-якої його перестановки утворюється ряд з тією ж збіжністю, що й початковий. Абсолютно збіжні ряди є безумовно збіжними. Але теорема Рімана про умовно збіжний ряд стверджує, що умовно збіжні ряди можна подати для утворення будь-якої збіжності. Загальний принцип полягає в тому, що додавання нескінченних сум є комутативним лише для абсолютно збіжних рядів.

Наприклад, одне з хибних доведень, що $1=0$, використовує порушення асоціативності для нескінченних сум.

Ще один приклад, як відомо

$\ln (2)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots .$

Але, оскільки ряд не є абсолютно збіжним, то можемо переставити члени ряду, щоб отримати ряд для $\frac{1}{2}\ln (2)$:

$\begin{array}{cc}& (1-\frac{1}{2})-\frac{1}{4}+(\frac{1}{3}-\frac{1}{6})-\frac{1}{8}+(\frac{1}{5}-\frac{1}{10})-\frac{1}{12}+\cdots \\ & =\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{6}-\frac{1}{8}+\frac{1}{10}-\frac{1}{12}+\cdots \\ & =\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\cdots )=\frac{1}{2}\ln (2).\end{array}$

Прискорення збіжності ряду

Насправді числове підсумування знакопереміжного ряду можна прискорити за допомогою будь-якої з різноманітних методик прискорення збіжності рядів. Однією з найдавніших методик є підсумування Ейлера, а також безліч сучасних методик, які можуть забезпечити ще швидшу збіжність рядів.

Див. також

• Ознака Діріхле — узагальнення ознаки Лейбніца
• Ряд Гранді
• Шаблон:Нп

Джерела

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Нп (1967) Infinite Series, pp 73–6, Macmillan Publishers.
• Шаблон:MathWorld