Ряд Меркатора

У математиці ряд Меркатора (або ряд Ньютона — Меркатора) є рядом Тейлора для натурального логарифма:

$\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots ,$

або з використанням позначень суми:

$\ln (1+x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}{x}^n.$

Ряд Меркатора збігається при $-1<x\le 1$, хоча збіжність досить повільна. При $|x|<1$ ряд збігається абсолютно.

Історія

Площа під гіперболою $y=1/x$ в інтервалі $(1,a)$ дорівнює $\ln (a)$

У 1647 Грегуар де Сен-Венсан виявив зв'язок логарифма і площі під гіперболою (див. рисунок). У 1650 році, виходячи з геометричних міркувань, італійський математик Шаблон:Не перекладено опублікував у своєму трактаті «Нові арифметичні квадратури» розкладання $\ln 2$ в нескінченний ряд:Шаблон:Sfn

$\ln 2=\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{3\cdot 4}+\frac{1}{5\cdot 6}+\cdots .$

У 1657 році цю формулу незалежно опублікував англійський математик Вільям Браункер в своїй статті «Квадратура гіперболи за допомогою нескінченного ряду раціональних чисел».Шаблон:Sfn

У 1668 році німецький математик Ніколас Меркатор (Кауфман), який проживав тоді в Лондоні, в трактаті «Logarithmotechnia» вперше розглянув розкладання в ряд не числа, а функції:Шаблон:Sfn

$\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+\dots$

Далі він знайшов площі під лівою і правою частинами цього розкладу (в сучасних термінах, проінтегрував їх) і отримав «ряд Меркатора», який виписав для значень $x=0,1$ та $x=0,21$. Збіжність ряду Меркатор не дослідив, але відразу після виходу в світ праці Меркатора Джон Валліс вказав, що ряд придатний при $0⩽x<1$ (від'ємними числами тоді нехтували).

Як виявили історики, Ньютон вивів такий же ряд в 1665 році, але, за своїм звичаєм, не подбав про публікаціюШаблон:Sfn. Глибокі дослідження Ньютона в області нескінченних рядів були опубліковані тільки в 1711 році, в трактаті «Аналіз за допомогою рівнянь з нескінченним числом членів».

Виведення

Ряд можна отримати з теореми Тейлора методом індукції через обчислення $n$-ї похідної функції $\ln (x)$ у точці $x=1$, починаючи з

$\frac{d}{dx}\ln (x)=\frac{1}{x}.$

Також можна почати з скінченного геометричного ряду ($t\ne -1$):

$1-t+t^2-\cdots +(-t{)}^{n-1}=\frac{1-(-t{)}^n}{1+t}$

з якого отримуємо

$\frac{1}{1+t}=1-t+t^2-\cdots +(-t{)}^{n-1}+\frac{(-t{)}^n}{1+t}.$

З цього випливає, що

$\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{\mathrm{d}t}{1+t}=\underset{0}{\overset{x}{\int }}(1-t+t^2-\cdots +(-t{)}^{n-1}+\frac{(-t{)}^n}{1+t})\mathrm{d}t$

і шляхом почленного інтегрування маємо

$\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots +(-1{)}^{n-1}\frac{x^n}{n}+(-1{)}^n\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{t^n}{1+t}\mathrm{d}t.$

Якщо $-1<x\le 1$, залишковий член прямує до 0 при $n\to \mathrm{\infty }$.

Якщо цей вираз проінтегрувати $k$ разів, то отримаємо

$-x{A}_k(x)+B_k(x)\ln (1+x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n-1}\frac{x^{n+k}}{n(n+1)\cdots (n+k)},$

де

$A_k(x)=\frac{1}{k!}\sum _{m=0}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{m})x^m\sum _{l=1}^{k-m}\frac{(-x{)}^{l-1}}{l}$

та

$B_k(x)=\frac{1}{k!}(1+x{)}^k$

є многочленами змінної $x$.

Особливі випадки

Якщо у ряді Меркатора покласти $x=1$, то отримуємо Шаблон:Не перекладено

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{k+1}}{k}=\ln (2).$

Варіації та узагальнення

Ряд Меркатора непридатний для реальних розрахунків, так як збігається дуже повільно, причому в обмеженому інтервалі. Але вже в рік публікації роботи Меркатора (1668) Джеймс Грегорі запропонував його модифікований варіант:

$\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)=2(x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^7}{7}+\cdots ).$

Цей ряд збігається набагато швидше, а логарифмований вираз вже може бути будь-яким додатним числом Шаблон:Sfn. Наприклад, сума перших 10 членів ряду Меркатора для $\ln 2$ дорівнює $0,646$, тут тільки перший десятковий знак вірний, в той час як ряд Грегорі дає значення $0,6931471805498$, в якому вірні 10 знаків з 13..

На комплексній площині ряд Меркатора набуває узагальнений вигляд:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^n}{n}=z+\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{3}+\frac{z^4}{4}+\cdots .$

Це ряд Тейлора для комплексної функції $f(z)=-\ln (1-z)$, де символ $\ln$ позначає головну вітку (головне значення) комплексного натурального логарифма. Даний ряд збігається в крузі $|z|⩽1,z\ne 1$.

Насправді, як видно з ознаки д'Аламбера, ряд має радіус збіжності рівний 1, тому збігається абсолютно у кожному крузі $B(0,r)$ з радіусом $r<1$. Більше того, він рівномірно збігається на кожному виколотому крузі $\overline{B(0,1)}\setminus B(1,\delta )$ з $\delta >0$. Це відразу випливає з алгебраїчної тотожності:

$(1-z)\sum _{n=1}^m\frac{z^n}{n}=z-\sum _{n=2}^m\frac{z^n}{n(n-1)}-\frac{z^{m+1}}{m},$

оскільки ряд у правій частині рівномірно збігається на всьому замкненому одиничному крузі.

Див. також

• Ряд Тейлора
• Гармонічний ряд
• Геометричний ряд

Література

• Шаблон:Mathworld
• Eriksson, Larsson & Wahde. Matematisk analys med tillämpningar, part 3. Gothenburg 2002. p. 10.
• Some Contemporaries of Descartes, Fermat, Pascal and Huygens from A Short Account of the History of Mathematics (4th edition, 1908) by W. W. Rouse Ball.