Ознака д'Аламбера

Шаблон:Числення Ознака Д’Аламбера — ознака збіжності числових рядів встановлена Жаном Д’Аламбером в 1768 році:

Шаблон:Рамка Якщо для числового ряду

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$

існує таке число $q$, $0<q<1$, що починаючи з деякого номера виконується нерівність

$\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\le q,$

то даний ряд абсолютно збігається; якщо ж, починаючи з деякого номера

$\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\ge 1,$

то ряд розбігається. Шаблон:/рамка

Зокрема, якщо існує границя

то ряд, що розглядається, абсолютно збіжний якщо $\rho <1$, а якщо $\rho >1$ — розбіжний (ознака збіжності Д’Аламбера у граничній формі). Якщо $\rho =1$ або границя не існує - тест не дає результату, бо ряди які відповідають таким випадкам можуть бути як збіжні, так і розбіжні.

Ознаку д'Аламбера можна застосувати і в випадках, коли границя $\rho$ не існує або дорівнює одиниці, якщо використати верхню і нижню границі. Нехай:

$R=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\bar{\lim }}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$

$r=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\underset{―}{\lim }}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$.

Тоді:

• якщо R < 1, ряд абсолютно збіжний;
• якщо r > 1, ряд розбіжний;
• якщо $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\ge 1$ для всіх великих n (незалежно від значення r), ряд теж розбіжний тому що $|a_n|$ ненульове і зрозстаюче, а тому Шаблон:Mvar не наближається до нуля;
• інакше результат не визначений.

Якщо границя $\rho$ в (Шаблон:EquationNote) існує, то $\rho =R=r$. Таким чином ознака з верхньою і нижньою границею включає в себе ознаку зі звичайною границею.

Приклади

1. Ряд

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^n}{n!}$

абсолютно збіжний для всіх комплексних $z$, бо

$\lim \left|\frac{z^{n+1}/(n+1)!}{z^n/n!}\right|=\lim \frac{|z|}{n+1}=0,$

2. Ряд

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}n!z^n$

розбігається при всіх $z=0$, бо

$\lim \left|\frac{(n+1)!z^{n+1}}{n!z^n}\right|=\lim |(n+1)z|=\mathrm{\infty }.$

3. Якщо $\rho =1$, то ряд може як збігатися, так і розбігатися: обидва ряди

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}$     і     $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}$

задовольняють цю умову, причому перший ряд розбіжний, а другий збіжний.

Розширення для ρ = 1

Як було видно вище, ознака не визначена коли границя дорівнює 1. Розширення ознаки д'Аламбера іноді дозволяють розібратися з такими випадками.

У всіх ознаках нижче, вважаємо що Σa_n це сума додатніх a_n. Такі ознаки можна також застосовувати до будь-яких рядів зі скінченним числом від'ємних членів. Такі ряди можна записати як:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n=\sum _{n=1}^N{a}_n+\sum _{n=N+1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$

де a_N - це від'ємний елемент з найбільшим індексом.

Див. також

• Радикальна ознака Коші

Література

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Шаблон:Клепко ВМ
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation: §8.14.
• Шаблон:Citation: §3.3, 5.4.
• Шаблон:Citation: §3.34.
• Шаблон:Springer
• Шаблон:Springer
• Шаблон:Springer
• Шаблон:Citation: §2.36, 2.37.