Багатокутні числа

Шаблон:Не плутати Багатокутне число (полігональне число) — це число, яке можна представити у вигляді крапок (камінчиків), розташованих у вигляді правильного многокутника. Крапки вважаються одиницями (альфами). Багатокутні числа — один з типів фігурних чисел.

Багатокутні числа можуть бути згенеровані за допомогою простого правила обчислення. Треба задати арифметичну прогресію з різницею $d$ ($d$ — натуральне число). Найпростіша послідовність — це послідовність натуральних чисел ($d=1$). Всі наступні послідовності будуть утворенні додаванням до одиниці різниці $d$. Наведемо приклади:

Трикутні числа. Різниця $d=1$ приводить нас до суми $1+2+3+4+\cdots$, часткові суми якої утворюють послідовність трикутних чисел $1,3,6,10,\dots$.

Квадратні числа. Різниця $d=2$ приводить нас до суми $1+3+5+7+\cdots$, часткові суми якої утворюють послідовність квадратних чисел $1,4,9,16,\dots$.

П'ятикутні числа. Різниця $d=3$ приводить нас до суми $1+4+7+11+\cdots$, часткові суми якої утворюють послідовність п'ятикутних чисел $1,5,12,22,\dots$.

Шестикутні числа. Різниця $d=4$ приводить нас до суми $1+5+9+13+\cdots$, часткові суми якої утворюють послідовність шестикутних чисел $1,6,15,28,\dots$.

Інколи $0$ визначається як нульове число. Згідно з цією умовою послідовність, наприклад, трикутних чисел приймає наступний вигляд $0,1,3,6,10$.

• 
  10 — четверте число з трикутних чисел Трикутні числа.
• 
  16 — четверте число з квадратних чисел Квадратні числа.
• 
  22 — четверте число з п'ятикутних чисел П'ятикутні числа.
• 
  28 — четверте число з шестикутних чисел Шестикутні числа.

Формула

Якщо $s$ — кількість сторін у многокутнику, формула $n$-го $s$-кутного числа $P(s,n)$ наступна:

$P(s,n)=\frac{(s-2)n^2-(s-4)n}{2}$,

або

$P(s,n)=(s-2)\frac{n(n-1)}{2}+n$.

$N$-те $s$-кутного число також пов'язане з трикутними числами $T_n$ таким чином:

$P(s,n)=(s-2)T_{n-1}+n=(s-3)T_{n-1}+T_n.$

Звідси

$\begin{array}{cc}P(s,n+1)-P(s,n)& =(s-2)n+1,\\ P(s+1,n)-P(s,n)& =T_{n-1}=\frac{n(n-1)}{2}.\end{array}$

Для заданого $s$-кутного числа $P(s,n)=x$ можна знайти $n$ та $s$ за допомогою формул:

$n=\frac{\sqrt{8(s-2)x+{(s-4)}^2}+(s-4)}{2(s-2)}$,

$s=2+\frac{2}{n}\cdot \frac{x-n}{n-1}$.

Кожне шестикутне число є трикутним числом

Застосовуючи формулу наведену вище, маємо

$P(s,n)=(s-2)T_{n-1}+n$.

Якщо сторін 6, то

$P(6,n)=4T_{n-1}+n$,

але оскільки

$T_{n-1}=\frac{n(n-1)}{2}$,

то звідси випливає, що

$P(6,n)=\frac{4n(n-1)}{2}+n=\frac{2n(2n-1)}{2}=T_{2n-1}$.

Отже, кожне $n$-те шестикутне число $P(6,n)$ також є $(2n-1)$-м трикутним числом $T_{2n-1}$. Будь-яке шестикутне число можна знайти просто взявши непарні трикутні числа : 1, 3, 6, 10,15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, …

Таблиця значень

Перші 6 значень у стовпці «сума обернених значень» (з трикутних по восьмикутні числа) обраховуються в вище наведеній задачі, що також дає загальну формулу для будь-якої кількості сторін, за умовою дигамма функції.

Шаблон:Mvar	Назва	Формула	Шаблон:Mvar										Сума обернених значень	OEIS
			1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
3	Трикутні	Шаблон:Math	1	3	6	10	15	21	28	36	45	55	2	A000217
4	Квадратні	Шаблон:Math	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100	Шаблон:Sfrac	A000290
5	П'ятикутні	Шаблон:Math	1	5	12	22	35	51	70	92	117	145	Шаблон:Math	A000326
6	Шестикутні	Шаблон:Math	1	6	15	28	45	66	91	120	153	190	Шаблон:Math	A000384
7	Семикутні	Шаблон:Math	1	7	18	34	55	81	112	148	189	235	$\begin{array}{c}\frac{2}{3}\ln 5\\ +\frac{1+\sqrt{5}}{3}\ln \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{2}\\ +\frac{1-\sqrt{5}}{3}\ln \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{2}\\ +\frac{\pi \sqrt{25-10\sqrt{5}}}{15}\end{array}$	A000566
8	Восьмикутні	Шаблон:Math	1	8	21	40	65	96	133	176	225	280	Шаблон:Math	A000567
9	Дев'ятикутні	Шаблон:Math	1	9	24	46	75	111	154	204	261	325		A001106
10	Десятикутні	Шаблон:Math	1	10	27	52	85	126	175	232	297	370	Шаблон:Math	A001107
11	11-кутні	Шаблон:Math	1	11	30	58	95	141	196	260	333	415		A051682
12	12-кутні	Шаблон:Math	1	12	33	64	105	156	217	288	369	460		A051624
13	13-кутні	Шаблон:Math	1	13	36	70	115	171	238	316	405	505		A051865
14	14-кутні	Шаблон:Math	1	14	39	76	125	186	259	344	441	550	Шаблон:Math	A051866
15	15-кутні	Шаблон:Math	1	15	42	82	135	201	280	372	477	595		A051867
16	16-кутні	Шаблон:Math	1	16	45	88	145	216	301	400	513	640		A051868
17	17-кутні	Шаблон:Math	1	17	48	94	155	231	322	428	549	685		A051869
18	18-кутні	Шаблон:Math	1	18	51	100	165	246	343	456	585	730	Шаблон:Math Шаблон:Math	A051870
19	19кутні	Шаблон:Math	1	19	54	106	175	261	364	484	621	775		A051871
20	20-кутні	Шаблон:Math	1	20	57	112	185	276	385	512	657	820		A051872
21	21-кутні	Шаблон:Math	1	21	60	118	195	291	406	540	693	865		A051873
22	22-кутні	Шаблон:Math	1	22	63	124	205	306	427	568	729	910		A051874
23	23-кутні	Шаблон:Math	1	23	66	130	215	321	448	596	765	955		A051875
24	24-кутні	Шаблон:Math	1	24	69	136	225	336	469	624	801	1000		A051876
...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...
10000	10000-кутні	Шаблон:Math	1	10000	29997	59992	99985	149976	209965	279952	359937	449920		A167149

Онлайн енциклопедія послідовностей цілих чисел уникає використання термінів з грецькими префіксами (наприклад, "восьмикутній") і надає перевагу числовим позначенням (наприклад, «8-кутний»).

Властивість цієї таблиці виражена  наступною тотожністю (див. A086270 Шаблон:Webarchive) :

$2P(s,n)=P(s+k,n)+P(s-k,n),$

де

$k=0,1,2,3,...,s-3.$

Чи є число багатокутним

Задача 1. (інколи її називають задачею Діофанта). Для заданого натуральне число $N>2$, потрібно визначити чи є воно багатокутним числом $P_n^{(k)}$ і якщо так, то для яких значень $k$, $n$. Діофант сформулював цю проблему так: «визначити скільки разів задане число зустрічається серед усіх можливих багатокутних чисел». Алгоритм розв'язку задачі:Шаблон:Sfn.

1. Випишемо всі натуральні дільники числа $2N$ (включаючи $1$ та $2N$).
2. Випишемо всі натуральні дільники числа $2N-2$.
3. З першого набору виберемо ті числа, які на одиницю більші за будь-яке число з другого набору. Ці числа відповідають $n$.
4. Для кожного вибраного $n$ обчислюємо $k=\frac{2N-2}{n-1}-\frac{2N}{n}+2$.
5. Відкинемо пари $(n,k)$, де $k<3$.

Відповідно, всі пари $P_n^{(k)}$, що залишилися, рівні $N$.

Приклад 1. Нехай $N=105$.

• Дільники $2N=210$: $1,2,3,5,6,7,10,14,15,21,30,35,42,70,105,210$.
• Дільники $2N-2=208$: $1,2,4,8,13,16,26,52,104,208$.
• Виписуємо $n=2,3,5,14,105$.
• Відповідно $k=105,36,12,14,2$. Останнє значення відкинемо.

Відповідь: $105$ зустрічається як $P_2^{(105)}$, $P_3^{(36)}$, $P_5^{(12)}$, $P_1{4}^{(14)}$, тобто як 2-е 105-кутне, 3-е 36-кутне, 5-е 12-кутне, 14-е 14-кутне число.

Задача 2. Дано натуральне число $N>2$, потрібно визначити чи є воно $k$-кутним числом $P_n^{(k)}$. На відміну від попередньої задачі, тут $k$ задано. Для розв'язку можна використати тотожністю ДіофантаШаблон:Sfn:

$8(k-2)P_n^{(k)}+(k-4{)}^2=(2n(k-2)-(k-4){)}^2$.

Цю тотожність легко отримати з наведеної вище загальної формули для $P_n^{(k)}$. З тотожності випливає розв'язок поставленої задачі: якщо $N$ є $k$-кутне число, тобто $N=P_n^{(k)}$ для деякого $N$, то $8(k-2)N+(k-4{)}^2$ — це деяке квадратне число $R^2$ і навпаки. При цьому номер $n$ знаходиться за формулою

$n=\frac{R+k-4}{2k-4}$.

Приклад 2. Визначити чи є число 1540 10-кутним. Значення $8(k-2)N+(k-4{)}^2$ тут рівне $98596=314^2$, тому задане число є 10-кутним. $n=20$, отже, 1540 є 20-м 10-кутним числом.

Твірна функція

Степеневий ряд, коефіцієнти якого $k$-кутні числа, збігається при $|x|<1$:

$P_1^{(k)}x+P_2^{(k)}{x}^2+P_3^{(k)}{x}^3+\dots =\frac{x(1+(k-3)x)}{(1-x{)}^3}$.

Вираз справа є твірною функцією для послідовності $k$-кутних чиселШаблон:Sfn.

Апарат твірних функцій дозволяє застосовувати в теорії чисел і комбінаториці методи математичного аналізу. Наведена формула також пояснює появу $k$-кутних чисел серед коефіцієнтів ряду Тейлора для різноманітних раціональних дробів. Приклади:

При $k=3$ : $\frac{x}{(1-x{)}^3}=P_1^{(3)}x+P_2^{(3)}3x^2+P_3^{(3)}{x}^3+\dots +P_n^{(3)}{x}^n+\cdots$,

при $k=4$ : $\frac{x(x+1)}{(1-x{)}^3}=P_1^{(4)}x+P_2^{(4)}3x^2+P_3^{(4)}{x}^3+\dots +P_n^{(4)}{x}^n+\cdots$,

при $k=5$ : $\frac{x(2x+1)}{(1-x{)}^3}=P_1^{(5)}x+P_2^{(5)}3x^2+P_3^{(5)}{x}^3+\dots +P_n^{(5)}{x}^n+\cdots$.

Див. також

• Фігурні числа
• Центровані багатокутні числа
• Теорема Ферма про багатокутні числа

Література

• The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers, David Wells (Penguin Books, 1997) [[[:Шаблон:Isbn]]].
• Polygonal numbers at PlanetMath Шаблон:Webarchive
• Шаблон:MathWorld
• Шаблон:Cite book

Посилання

• Шаблон:Springer
• Polygonal Numbers: Every s-polygonal number between 1 and 1000 clickable for 2<=s<=337 Шаблон:Webarchive
• Шаблон:Youtube
• Polygonal Number Counting Function: http://www.mathisfunforum.com/viewtopic.php?id=17853 Шаблон:Webarchive