Теорема Ферма про багатокутні числа

Теоре́ма Ферма́ про багатоку́тні чи́сла стверджує, що будь-яке натуральне число можна подати як суму не більше ніж $n$ $n$-кутних чисел.

Приклади

Приклади розбиття натуральних чисел від 1 до 30 відповідно до теореми Ферма:

Число	Сума не більше трьох трикутних чисел	Сума не більше чотирьох квадратних чисел	Сума не більше п'яти п'ятикутних чисел
1	1	$1$	1
2	1 + 1	1 + 1	1 + 1
3	3	1 + 1 + 1	1 + 1 + 1
4	3 + 1	$2^2$	1 + 1 + 1 + 1
5	3 + 1 + 1	$2^2+1$	5
6	6	$2^2+1+1$	5 + 1
7	6 + 1	$2^2+1+1+1$	5 + 1 + 1
8	6 + 1 + 1	$2^2+2^2$	5 + 1 + 1 + 1
9	6 + 3	$3^2$	5 + 1 + 1 + 1 + 1
10	10	$3^2+1$	5 + 5
11	10 + 1	$3^2+1+1$	5 + 5 + 1
12	6 + 6	$2^2+2^2+2^2$	12
13	10 + 3	$3^2+2^2$	12 + 1
14	10 + 3 + 1	$3^2+2^2+1$	12 + 1 + 1
15	15	$3^2+2^2+1+1$	5 + 5 + 5
16	15 + 1	$4^2$	5 + 5 + 5 + 1
17	10 + 6 + 1	$4^2+1$	12 + 5
18	15 + 3	$3^2+3^2$	12 + 5 + 1
19	10 + 6 + 3	$3^2+3^2+1$	12 + 5 + 1 + 1
20	10 + 10	$4^2+2^2$	5 + 5 + 5 + 5
21	21	$4^2+2^2+1$	5 + 5 + 5 + 5 + 1
22	21 + 1	$3^2+3^2+2^2$	22
23	10 + 10 + 3	$3^2+3^2+2^2+1$	22 + 1
24	21 + 3	$4^2+2^2+2^2$	12 + 12
25	15 + 10	$5^2$	12 + 12 + 1
26	15 + 10 + 1	$5^2+1$	12 + 12 + 1 + 1
27	21 + 6	$5^2+1+1$	22 + 5
28	28	$5^2+1+1+1$	22 + 5 + 1
29	28 + 1	$5^2+2^2$	12 + 12 + 5
30	15 + 15	$5^2+2^2+1$	12 + 12 + 5 + 1

Історія

Теорему названо ім'ям П'єра Ферма, який висунув це твердження 1638 році без доведення, але обіцяв надати його в окремій статті, яка так ніколи й не з'явилася. 1770 року Лагранж довів цю теорему для квадратних чисел. Гаусс довів теорему для трикутних чисел 1796 року. Він доповнив свою знахідку записом у щоденнику: «Еврика!» і опублікував доведення в книзі «Арифметичні дослідження». Цей результат Гауса відомий як «теорема еврика». Повністю теорему довів Коші 1813 року. Подальші доведення засновані на доведених Коші лемах.

Окремі випадки

Найцікавіші квадратний $m=n^2$ і трикутний $m=\frac{n(n+1)}{2}$ випадки. Теорема Лагранжа про суму чотирьох квадратів разом із теоремою Лежандра про три квадрати вирішують проблему Воринга для $n=2$. А в разі трикутних чисел заміна квадрата квадратним многочленом дозволяє зменшити необхідне число доданків.

Посилання

• Шаблон:MathWorld
• Шаблон:Citation — містить доведення теореми Лагранжа і теореми про багатокутні числа.