Аналітичний многовид

Аналіти́чний многови́д — це многовид з аналітичними функціями переходу.

Загальний опис

Топологічний многовид $M$ вимірності $n$ є дійсним аналітичним многовидом, якщо він має атлас ${\varphi }_{\alpha }:U_{\alpha }\to {ℝ}^n$, $\alpha \in A$, такий, що функції переходу ${\varphi }_{\alpha }^{\beta }={\varphi }_{\beta }\circ {\varphi }_{\alpha }^{-1}:{\varphi }_{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to {\varphi }_{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })$ — дійсно-аналітичні для всіх $\alpha ,\beta \in A$ з $U_{\alpha }\cap U_{\beta }\ne \mathrm{\varnothing }$. Такий атлас називається аналітичним. $M$ є комплексним (аналітичним) многовидом вимірності $n$, якщо для локальних карт ${\varphi }_{\alpha }:U_{\alpha }\to {ℂ}^n$ функції переходу ${\varphi }_{\alpha }^{\beta }$ — голоморфні відображення.

Аналітичний многовид — те саме, що аналітичний простір, усі точки якого неособливі. Комплексний многовид вимірності 1 називається рімановою поверхнею.

Приклади

• Дійсний проективний простір ${\mathbb{P}}_{ℝ}^n=({ℝ}^{n+1}\setminus \{0\})/\sim$, де $x\sim y\in {ℝ}^{n+1}\setminus \{0\}$, якщо $y=\lambda x$ для деякого $\lambda \in {ℝ}^{\times }$. Клас еквівалентності точки $x=(x_1,\dots ,x_{n+1})\in {ℝ}^{n+1}\setminus \{0\}$ позначимо $[x_1:\dots :x_{n+1}]\in {\mathbb{P}}_{ℝ}^n$. Атлас для ${\mathbb{P}}_{ℝ}^n$ може складатись з $n+1$ карти, індексованих $1\le j\le n+1$: відкритих множин $U_j=\{[x_1:\dots :x_j:\dots :x_{n+1}]\mid x_j\ne 0\}$, гомеоморфізмів ${\varphi }_j:U_j\to {ℝ}^n$, ${\varphi }_j[x_1:\dots :x_j:\dots :x_{n+1}]=(x_1/x_j,\dots ,x_{j-1}/x_j,x_{j+1}/x_j,\dots ,x_{n+1}/x_j)$, це визначає функції переходу ${\varphi }_j^i(y_1,\dots ,y_n)=(y_1/y_i,\dots ,y_{i-1}/y_i,y_{i+1}/y_i,\dots ,y_{j-1}/y_i,1/y_i,y_j/y_i,\dots ,y_n/y_i)$ для $i<j$ і подібні для $i>j$. Оскільки ${\mathbb{P}}_{ℝ}^n$ є ізоморфним $S^n/\{1,-1\}$, він є компактним многовидом.

• Комплексний проективний простір — комплексний компактний многовид ${\mathbb{P}}_{ℂ}^n=({ℂ}^{n+1}\setminus \{0\})/\sim$, визначається аналогічно дійсному.

Оскільки функції переходу алгебричні, то ${\mathbb{P}}_{ℝ}^n$ і ${\mathbb{P}}_{ℂ}^n$ є алгебричними многовидами.

Властивості

Будь-який компактний аналітичний підпростір комплексного многовиду ${\mathbb{P}}_{ℂ}^n$ є алгебричною підмножиною, тобто множиною спільних нулів сім'ї однорідних поліномів з $ℂ[x_1,\dots ,x_{n+1}]$ (теорема Чжоу).

Поле $K(X)$ мероморфних функцій на компактному комплексному многовиді $X$ вимірності $n$ має степінь трансцендентності $\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{t}\mathrm{r}K(X)\le n$ над $ℂ$ (теорема Зігеля).

Якщо $\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{t}\mathrm{r}K(X)=n$, то такий $X$ називається многовидом Мойшезона. Для ґратки загального положення $\mathrm{\Lambda }\subset {ℂ}^n$, $\mathrm{\Lambda }\cong {\mathbb{Z}}^{2n}$, $n\ge 2$, комплексний тор $X={ℂ}^n/\mathrm{\Lambda }$ не є многовидом Мойшезона, оскільки $K(X)=ℂ$.

Кожен келерів многовид Мойшезона є проективним алгебричним, тобто допускає вкладення в проективний простір як алгебрична підмножина (теорема Мойшезона).

Див. також

• Ріманів многовид
• Диференційовний многовид
• Комплексний многовид

Література

• Велика українська енциклопедія

• Hartshorne R., Algebraic geometry, Graduate texts in mathematics, vol. 52, Springer-Verlag, New York, Heidelberg, Berlin, 1977.