Аналітичний простір

Аналіти́чний про́стір — це окільцьований простір, локально влаштований як аналітична множина.

Загальний опис

Аналітичний простір — це окільцьований простір, такий, що кожна точка $x\in X$ має відкритий окіл U, для якого $(U,{𝒪}_X{|}_U)$ ізоморфний деякій аналітичній множині $(A,({𝒪}_B/ℐ){|}_A)$, отриманій з когерентного пучка ідеалів $ℐ\subset {𝒪}_B$ голоморфних функцій у деякій області B. Зокрема, ${𝒪}_X$ є когерентним пучком локальних $ℂ$-алгебр. Наприклад, коли $ℐ=0$ для всіх обраних U, то $(U,{𝒪}_X{|}_U)\cong (B,{𝒪}_B)$ і аналітичний простір є (комплексним) аналітичним многовидом. Якщо для локальної моделі $A\subset B$ маємо $ℐ={ℐ}_A$ — когерентний пучок ідеалів, що з відкритою підмножиною $V\subset B$ пов'язує ${ℐ}_A(V)=\{f\in {𝒪}_B(V)\mid f(A\cap V)=0\}$, то аналітичний простір називається зведеним. Оскільки ${𝒪}_B/{ℐ}_A$ вкладається в пучок ${𝒞}_A$ неперервних функцій на A, то для зведеного аналітичного простору ${𝒪}_X\subset {𝒞}_X$. Для кожного пучка комутативних кілець $ℛ$ на X позначимо $𝔫(ℛ)\subset ℛ$ його нільрадикал, а саме: $𝔫(ℛ{)}_x=𝔫({ℛ}_x)$ — ідеал нільпотентних елементів в ${ℛ}_x$, $x\in X$. Для зведеного аналітичного простору $(X,{𝒪}_X)$ маємо $𝔫({𝒪}_X)=0$. Для довільного аналітичного простору $(X,{𝒪}_X)$ визначимо його зведення як $\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{d}X=(X,\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{d}{𝒪}_X)$, де $\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{d}{𝒪}_X={𝒪}_X/𝔫({𝒪}_X)$.

Морфізми аналітичних просторів

Морфізми аналітичних просторів $f:(X,{𝒪}_X)\to (Y,{𝒪}_Y)$ — це морфізми окільцьованих просторів, тобто пари $(f,\tilde{f})$, де $f:X\to Y$ — неперервне відображення топологічних просторів, а $\tilde{f}:{𝒪}_Y\to f_{*}({𝒪}_X)$ - гомоморфізм пучків $ℂ$-алгебр. Наприклад, для довільного аналітичного простору $(X,{𝒪}_X)$ морфізм зведення $\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{d}:\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{d}X\to X$ складається з тотожного відображення ${\mathrm{i}\mathrm{d}}_X$ і канонічної проєкції ${𝒪}_X\to {𝒪}_X/𝔫({𝒪}_x)$. $\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{d}$ є функтором з категорії аналітичних просторів до повної підкатегорії зведених аналітичних просторів і $\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{d}:\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{d}\to \mathrm{I}\mathrm{d}$ є природним перетворенням. Морфізм зведених аналітичних просторів допускає простий опис: це неперервне відображення $f:X\to Y$, таке, що для кожної точки $x\in X$ і кожного $h\in {𝒪}_{Y,f(x)}\subset {𝒞}_{Y,f(x)}$, що розглядається як паросток неперервної функції, паросток $h\circ f\in {𝒞}_{X,x}$ належить ${𝒪}_{X,x}$.

Властивості

Аналогічні означення (але не результати) формулюються над іншими повними полями k з недискретним нормуванням. Для $k=ℝ$ йдеться про дійсні аналітичні функції, дійсні аналітичні простори, тощо. Властивість ${ℐ}_A=\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}ℐ$ притаманна лише алгебрично замкненим полям k. Тому у випадку $k=ℝ$ лише зведені дійсні аналітичні простори наповнені геометричним змістом. Крім того, структурний пучок $𝒪$ на дійсному аналітичному просторі не обов'язково є когерентним.

Аналітичні підмножини A комплексних аналітичних просторів $(X,{𝒪}_X)$ визначаються як носії $(A=\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}({𝒪}_X/ℐ),{𝒪}_A={𝒪}_X/ℐ)$ для когерентного пучка ідеалів $ℐ$. Вони самі є аналітичними просторами і можуть бути задані локальними рівняннями (теорема Картана-Ока): нехай A — замкнена підмножина X і для довільної точки $a\in A$ існують такий окіл $V\ni x$ в X і такі елементи $f_1,\dots ,f_q\in {𝒪}_X(V)$, що $A\cap V=\{x\in V\mid f_1(x)=\dots =f_q(x)=0\}$. Тут f(x) визначена як $(\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{d}f)(x)$. Тоді A є аналітичною множиною, а саме носієм $\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}({𝒪}_X/{ℐ}_A)$ для когерентного ідеалу ${ℐ}_A(U)=\{f\in {𝒪}_X(U)\mid (\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{d}f)(A\cap U)=0\}$, де U відкрита в X. Наприклад, множина S особливих точок $x\in X$ (тих, що не є регулярними) аналітична.

Для кожної точки аналітичного простору $x\in X$ стебло ${𝒪}_{X,x}$ є аналітичною локальною k-алгеброю, тобто факторалгеброю $K_m/I=K_m/(f_1,\dots ,f_q)$ нетерової алгебри $K_m$ збіжних рядів від m змінних. Скінченнопороджений модуль M над ${𝒪}_{X,x}$ має вимірність Шевале ${\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}}_{{𝒪}_{X,x}}M\in \mathbb{N}$, це найменша довжина d набору $a_1$, \dots, $a_d\in {𝔪}_x$ (${𝔪}_x$ — максимальний ідеал ${𝒪}_{X,x}$) такого, що $M/(a_1,\dots ,a_d)M$ — скінченновимірний k-векторний простір. Зокрема, $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}{𝒪}_{X,x}={\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}}_{{𝒪}_{X,x}}{𝒪}_{X,x}\le m$. Глобальна вимірність X - це $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}X={\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}_{x\in X}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}{𝒪}_{X,x}$. Для незвідної аналітичної множини A функція $x\mapsto \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}{𝒪}_{A,x}$ постійна на A (і приймає значення $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}A$). У кодотичного простору $T_x^{*}={𝔪}_x/{𝔪}_x^2$ вимірність ${\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}}_k{T}_x^{*}\ge \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}{𝒪}_{X,x}$. Точка x аналітичного простору X називається неособливою (або регулярною), якщо існує окіл $U\ni x$ такий, що локальна модель $(U,{𝒪}_X{|}_U)$ ізоморфна області $(B,{𝒪}_B)$ в $k^m$. Ця умова еквівалентна рівності ${\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}}_k{T}_x^{*}=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}{𝒪}_{X,x}$. Якщо X зведений, то множина S особливих точок ніде не щільна в X, отже має ковимірність ${\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}}_{x}S=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}{𝒪}_{X,x}-\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}{𝒪}_{S,x}$ щонайменше 1 в кожній точці $x\in S$. Множина S особливих точок аналітичного простору X порожня тоді і лише тоді, коли X — аналітичний многовид. Якщо $k=ℂ$, для достатньо малої $B\subset {ℂ}^m$ і відповідної локальної моделі $X\supset A\subset B$ топологічна вимірність $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{p}A=2\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}A$.

Непорожня аналітична множина A комплексного аналітичного простору X називається незвідною, якщо вона не є об'єднанням аналітичних множин $B\ne A$ та $C\ne A$. Кожна аналітична множина A в X єдиним чином розкладається в об'єднання непорожніх незвідних аналітичних множин $A={\cup }_{i\in I}{A}_i$ таких, що (1) сім'я $\{A_i{\}}_{i\in I}$ локально скінченна в X; (2) для кожної пари $i,j\in I$, $i\ne j$, перетин $A_i\cap A_j$ ніде не щільний в $A_i$. Множини $A_i$ називаються незвідними компонентами множини A.

Один з класів комплексних аналітичних просторів становлять простори Штайна $(X,{𝒪}_X)$ — такі, що для кожного когерентного пучка ${𝒪}_X$-модулів $𝒮$ маємо $H^q(X,𝒮)=0$ при $q\ge 1$. Для аналітичних просторів X зі зліченною базою топології штайновість еквівалентна умові $H^1(X,ℐ)=0$ для кожного когерентного пучка ідеалів $ℐ\subset {𝒪}_X$. Штайновість аналітичного простору X еквівалентна штайновості його зведення $\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{d}X$. Близькість теорії просторів Штайна до аналізу і топології ілюструється принципом Ока: на зведеному просторі Штайна голоморфні задачі, які можуть бути сформульовані в термінах когомологій, (задачі Кузена тощо) мають голоморфний розв'язок тоді і лише тоді, коли вони мають неперервний розв'язок.

Див. також

• Аналітичний многовид

Література

• Велика українська енциклопедія

• Abhyankar S. S., Local analytic geometry, Pure and Applied Mathematics, vol. XIV, Academic Press, New York-London, 1964.

• Gunning R. C., Rossi H., Analytic functions of several complex variables, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, N.J., 1965.

• Grauert H., Remmert R., Analytische Stellenalgebren, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 176, Springer-Verlag, Berlin-New York, 1971.

• Grauert H., Remmert R., Theorie der Steinschen Räume, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 227, Springer-Verlag, Berlin-New York, 1977.