Аналітична множина

Аналіти́чна множина — це множина спільних нулів скінченної сім'ї аналітичних функцій.

Загальний опис

Для області $B\subset {ℂ}^m$ розглянемо пучок $𝒪={𝒪}_B$ голоморфних функцій. Множина спільних нулів $A=\{z\in B\mid f_1(z)=\dots =f_q(z)=0\}$ сім'ї функцій $(f_i)$, голоморфних на $B$, називається аналітичною множиною. Вона може бути оснащена пучком $({𝒪}_B/{ℐ}_A){|}_A$, де ${ℐ}_A$ - когерентний пучок ідеалів, що з відкритою підмножиною $V\subset B$ пов'язує ${ℐ}_A(V)=\{f\in {𝒪}_B(V)\mid f(A\cap V)=0\}$.

Когерентні пучки модулів

Пучок модулів $ℳ$ над пучком комутативних кілець $ℛ$ називається когерентним, якщо (a) $ℳ$ - скінченного типу (локально існують епіморфізми ${ℛ}^p\to ℳ$, $p\in \mathbb{N}$); (b) для довільної відкритої підмножини $U\subset X$ ядро довільного морфізма ${ℛ}^q{|}_U\to ℳ{|}_U$ має скінченний тип. Сам пучок $ℛ$ називається когерентним, якщо він когерентний як пучок модулів над собою. З довільним когерентним пучком ідеалів $ℐ\subset {𝒪}_B$ пов'язується аналітична множина $A=\{z\in B\mid \mathrm{\forall }$ околу $V\ni z\mathrm{\forall }f\in ℐ(V)f(z)=0\}$, оснащена когерентним пучком $ℂ$-алгебр $({𝒪}_B/ℐ){|}_A$. Маємо $ℐ\subset {ℐ}_A=\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}ℐ$, де радикал пучка ідеалів $ℐ$ визначається як пучок ідеалів $\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}ℐ$, стебло якого над $x\in B$ - це $(\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}ℐ{)}_x=\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}({ℐ}_x)=\{f\in {𝒪}_x\mid \mathrm{\exists }n\in \mathbb{N}{f}^n\in {ℐ}_x\}$.

Література

• Велика українська енциклопедія

• Abhyankar S. S., Local analytic geometry, Pure and Applied Mathematics, vol. XIV, Academic Press, New York-London, 1964.

• Grauert H., Remmert R., Theorie der Steinschen Räume, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 227, Springer-Verlag, Berlin-New York, 1977.