Інтеграл Гаусса

Графік f(x) = e^−x2 і площа між функцією та x-віссю, що дорівнює Шаблон:Math.

Інтеграл Гаусса, також відомий як інтеграл Ейлера-Пуассона — це інтеграл функції Гаусса e^−x2 над усією областю дійсних чисел. Названий на честь німецького математика Карла Фрідріха Гаусса, і має вигляд

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }.$

Абрахам де Муавр першим відкрив цей тип інтегралів у 1733~р. Тоді як Гаусс опублікував точний інтеграл у 1809 р. Інтеграл має широкий спектр застосувань. Наприклад, за допомогою простої заміни змінних, використовується для обчислення нормалізуючої константи нормального розподілу. Цей же інтеграл з фіксованими межами тісно пов'язаний як з функцією помилок так і з кумулятивною функцією нормального розподілу. У фізиці цей тип інтеграла часто з'являється, наприклад, в квантовій механіці, при знаходженні густини ймовірності основного стану гармонічного осцилятора. Цей інтеграл також використовується в означенні інтегралу вздовж траєкторії для знаходження функції поширення гармонічного осцилятора, а також у статистичній механіці для знаходження функції розбиття.

Хоча функцію помилок не можна представити елементарними функціями, як це можна довести за допомогою алгоритму Ріша, все ж інтеграл Гаусса можна обчислити аналітичними методами аналізу функцій багатьох змінних. Тобто, невизначений інтеграл

$\int e^{-x^2}dx,$

не інтегрується в елементарних функціях, але визначений інтеграл

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}dx$

можна обчислити. Визначений інтеграл довільної функції Гаусса дорівнює

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-a(x+b{)}^2}dx=\sqrt{\frac{\pi }{a}}.$

Обчислення

В полярних координатах

Стандартний спосіб обчислення інтеграла Гаусса, що був запропонований Пуассоном, базується на використанні наступної властивості: базується на використанні наступної властивості:

${\left(\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}dx\right)}^2=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}dx\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-y^2}dy=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-(x^2+y^2)}dxdy.$

Розглянемо функцію $e^{-(x^2+y^2)}=e^{-r^2}$ у просторі ${ℝ}^2$, та обчислимо інтеграл від неї двома способами.:

1. З однієї сторони, як подвійний інтеграл в декартовій системі координат, він дорівнює квадрат інтеграла Гаусса:

   ${(\int e^{-x^2}dx)}^2;$

2. З іншої сторони, за допомогою методу знаходження об'єму тіла обертання (випадок подвійного інтеграла у полярних координатах), цей інтеграл дорівнює $\pi$

З цих двох обчислень отримаємо шукане значення для інтеграла Гаусса, хоча при цьому слід подбати про відповідні невласні інтеграли:

$\begin{array}{cc}\underset{{𝐑}^2}{\iint }{e}^{-(x^2+y^2)}dxdy& =\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-r^2}rdrd\theta \\ & =2\pi \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}r{e}^{-r^2}dr\\ & =2\pi \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{0}{\int }}\frac{1}{2}{e}^{s}ds& & s=-r^2\\ & =\pi \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{0}{\int }}{e}^{s}ds\\ & =\pi (e^0-e^{-\mathrm{\infty }})\\ & =\pi ,\end{array}$

де множник r-якобіан, який з'являється при переході до полярних координат у подвійному інтегралі (r dr dθ - стандартна міра на площині записана в полярних координатах , і інтегрування включає заміну s = −r², а тому ds = −2r dr.

Таким чином,

${\left(\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}dx\right)}^2=\pi ,$

Тоді:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }$.

Повне доведення

Для обґрунтування невласних подвійних інтегралів та прирівнювання двох співвідношень, розпочнемо з апроксимуючої функції:

$I(a)=\underset{-a}{\overset{a}{\int }}{e}^{-x^2}dx.$

Якби інтеграл

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}dx$

був би абсолютно збіжним, то ми б отримали головне значення інтеграла за Коші,тобто границя

$\underset{a\to \mathrm{\infty }}{\lim }I(a)$

співпадала б з інтегралом

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}dx.$

Щоб побачити це врахуємо, що

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|e^{-x^2}|dx<\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{-1}{\int }}-x{e}^{-x^2}dx+\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{e}^{-x^2}dx+\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x{e}^{-x^2}dx<\mathrm{\infty }.$

Таким чином, для обчислення інтеграла

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}dx$

потрібно знайти границю

$\underset{a\to \mathrm{\infty }}{\lim }I(a)$.

Підносячи $I(a)$ до квадрату, отримаємо

$\begin{array}{cc}{I}^2(a)& =\left(\underset{-a}{\overset{a}{\int }}{e}^{-x^2}dx\right)\left(\underset{-a}{\overset{a}{\int }}{e}^{-y^2}dy\right)\\ & =\underset{-a}{\overset{a}{\int }}\left(\underset{-a}{\overset{a}{\int }}{e}^{-y^2}dy\right)e^{-x^2}dx\\ & =\underset{-a}{\overset{a}{\int }}\underset{-a}{\overset{a}{\int }}{e}^{-(x^2+y^2)}dydx.\end{array}$

Використовуючи теорему Фубіні, вищевказаний подвійний інтеграл можна розглядати як поверхневий інтеграл

$\underset{[-a,a]\times [-a,a]}{\iint }{e}^{-(x^2+y^2)}d(x,y),$

взятий над квадратом з вершинами {(−a, a), (a, a), (a, −a), (−a, −a)} на площині xy.

Оскільки, для всіх дійсних чисел, експоненціальна функція більша за 0, то звідси випливає, що інтеграл, взятий над вписаним кругом, повинен бути меншим за $I(a{)}^2$, і аналогічно інтеграл, взятий над описаним кругом, повинен бути більшим ніж $I(a{)}^2$. Інтеграли над двома кругами легко обчислити, перейшовши від декартової системи координат до полярної системи координат:

$\begin{array}{cc}x& =r\cos \theta \\ y& =r\sin \theta \end{array}$

$𝐉(r,\theta )=\left[\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial r}& \frac{\partial x}{\partial \theta }\\ \frac{\partial y}{\partial r}& \frac{\partial y}{\partial \theta }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -r\sin \theta \\ \sin \theta & r\cos \theta \end{array}\right]$

$d(x,y)=|J(r,\theta )|d(r,\theta )=rd(r,\theta ).$

$\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\underset{0}{\overset{a}{\int }}r{e}^{-r^2}drd\theta <I^2(a)<\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\underset{0}{\overset{a\sqrt{2}}{\int }}r{e}^{-r^2}drd\theta .$

(Див. Полярні координати з декартових координат щодо відповідних перетворень.)

Після інтегрування отримуємо

$\pi (1-e^{-a^2})<I^2(a)<\pi (1-e^{-2a^2}).$

За теоремою про двох поліцейських, отримаємо значення інтеграла Гаусса:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }.$

У декартових координатах

Інша техніка, яка сходить до Лапласа (1812), , полягає в наступному. Покладемо

$\begin{array}{cc}y& =xs\\ dy& =xds.\end{array}$

Оскільки границі відносно s приy → ±∞ , залежать від знаку x, то для спрощення обчислень використовуємо той факт, що e^−x2 є парною функцією і, отже, інтеграл на множині всіх дійсних чисел удвічі більший ніж інтеграл від нуля до нескінченності:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}dx=2\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}dx.$

Таким чином, при x ≥ 0, для змінних y and s маємо однакові границі. Тобто,

$\begin{array}{cc}{I}^2& =4\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-(x^2+y^2)}dydx\\ & =4\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\left(\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-(x^2+y^2)}dy\right)dx\\ & =4\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\left(\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2(1+s^2)}xds\right)dx\\ & =4\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\left(\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2(1+s^2)}xdx\right)ds\\ & =4\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\left[\frac{1}{-2(1+s^2)}{e}^{-x^2(1+s^2)}\right]}_{x=0}^{x=\mathrm{\infty }}ds\\ & =4\left(\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{ds}{1+s^2}\right)\\ & =2[\arctan s{]}_0^{\mathrm{\infty }}\\ & =\pi .\end{array}$

Отже, як і очікувалося, $I=\sqrt{\pi }$.

Зв'язок з гамма-функцією

Підінтегральна функція - це парна функція, тому

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}dx=2\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}dx$

Таким чином, цей інтеграл після заміни змінної $x=\sqrt{t}$ перетворюється на інтеграл Ейлера:

$2\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}dx=2\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{2}{e}^{-t}{t}^{-\frac{1}{2}}dt=\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi }$

де $\mathrm{\Gamma }(z)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{z-1}{e}^{-t}dt$ гамма-функція. Це показує, чому факторіал напівцілого числа є раціональним, домножиним на $\sqrt{\pi }$. У загальному випадку,

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^n{e}^{-a{x}^b}dx=\frac{\mathrm{\Gamma }((n+1)/b)}{b{a}^{(n+1)/b}},$

який можна отримати виконавши заміну $t=a{x}^b$ в підінтегральній функції гамма-функції:

$\mathrm{\Gamma }(z)=a^{z}b\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{bz-1}{\mathrm{e}}^{-a{x}^b}\mathrm{d}x$.

Узагальнення

Інтеграл функції Гаусса

Результатом обчислення інтеграла довільної функції Гаусса є

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-a(x+b{)}^2}dx=\sqrt{\frac{\pi }{a}}.$

Альтернативною формою є

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-a{x}^2+bx+c}dx=\sqrt{\frac{\pi }{a}}{e}^{\frac{b^2}{4a}+c}.$

Ця форма корисна для обчислення математичних сподівань деяких неперервних розподілів, пов'язаних із нормальним розподілом, наприклад, для логнормального розподілу.

n-мірне та функціональне узагальнення

Припустимо, A - симетрична, додатньо визначена (отже, має обернену) матриця Шаблон:Math яка є оберненою до коваріаційної матриці. Тому,

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\exp (-\frac{1}{2}\sum _{i,j=1}^n{A}_{ij}{x}_i{x}_j)d^{n}x=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\exp (-\frac{1}{2}{x}^{T}Ax)d^{n}x=\sqrt{\frac{(2\pi {)}^n}{\det A}}=\sqrt{\frac{1}{\det (A/2\pi )}}=\sqrt{\det (2\pi A^{-1})}$

де інтеграл розуміється над Rⁿ. Цей факт застосовується при дослідженні багатовимірного нормального розподілу. Також

$\int x_{k_1}\cdots x_{k_{2N}}\exp (-\frac{1}{2}\sum _{i,j=1}^n{A}_{ij}{x}_i{x}_j)d^{n}x=\sqrt{\frac{(2\pi {)}^n}{\det A}}\frac{1}{2^{N}N!}\sum _{\sigma \in S_{2N}}(A^{-1}{)}_{k_{\sigma (1)}{k}_{\sigma (2)}}\cdots (A^{-1}{)}_{k_{\sigma (2N-1)}{k}_{\sigma (2N)}}$

де σ - перестановка множин {1, ..., 2N}, а додатковий коефіцієнт у правій частині -

це сума за всіма комбінаторними парами множини {1, ..., 2N} з N копій матриці A−1.

Крім того,

$\int f(\overrightarrow{x})\exp (-\frac{1}{2}\sum _{i,j=1}^n{A}_{ij}{x}_i{x}_j)d^{n}x=\sqrt{\frac{(2\pi {)}^n}{\det A}}{\exp (\frac{1}{2}\sum _{i,j=1}^n(A^{-1}{)}_{ij}\frac{\partial }{\partial x_i}\frac{\partial }{\partial x_j})f(\overrightarrow{x})|}_{\overrightarrow{x}=0}$

для деякої аналітичної функції f, за умови, що вона задовольняє деяким відповідним обмеженням щодо свого зростання та деяким іншим технічним критеріям. (Для деяких функцій вона працює, наприклад, для поліномів. А для деяких - ні.) Піднесення до степеня диференціальним оператором розуміється в сенсі степеневих рядів.

Хоча функціональні інтеграли не мають чіткого означення (або навіть їх неможливо строго обчислити в більшості випадків),

проте ми можемо визначити функціональний інтеграл Гаусса аналогічно скінченновимірному випадку. Але проблема все ж залишається, оскільки $(2\pi {)}^{\mathrm{\infty }}$ є нескінченністю, а також функціональний детермінант буде нескінченним у загальному випадку. Проте це можна обійти, якщо розглянути відношення:

$\frac{\int f(x_1)\cdots f(x_{2N})\exp \left[-\iint \frac{1}{2}A(x_{2N+1},x_{2N+2})f(x_{2N+1})f(x_{2N+2})d^d{x}_{2N+1}{d}^d{x}_{2N+2}\right]𝒟f}{\int \exp \left[-\iint \frac{1}{2}A(x_{2N+1},x_{2N+2})f(x_{2N+1})f(x_{2N+2})d^d{x}_{2N+1}{d}^d{x}_{2N+2}\right]𝒟f}=\frac{1}{2^{N}N!}\sum _{\sigma \in S_{2N}}{A}^{-1}(x_{\sigma (1)},x_{\sigma (2)})\cdots A^{-1}(x_{\sigma (2N-1)},x_{\sigma (2N)}).$

В позначеннях ДеВіта це співвідношення виглядає аналогічно скінченновимірному випадку.

n- мірний з лінійним членом

Якщо A знову є  симметричною, додатньо визначеною  матрицею, тоді (при умові, що всі вектори є вектор-стовпцями):

$\int e^{-\frac{1}{2}\sum _{i,j=1}^n{A}_{ij}{x}_i{x}_j+\sum _{i=1}^n{B}_i{x}_i}{d}^{n}x=\int e^{-\frac{1}{2}{\overrightarrow{x}}^T𝐀\overrightarrow{x}+{\overrightarrow{B}}^T\overrightarrow{x}}{d}^{n}x=\sqrt{\frac{(2\pi {)}^n}{\det A}}{e}^{\frac{1}{2}{\overrightarrow{B}}^T{𝐀}^{-1}\overrightarrow{B}}.$

Інтеграли подібної форми

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{2n}{e}^{-\frac{x^2}{a^2}}dx=\sqrt{\pi }\frac{a^{2n+1}(2n-1)!!}{2^{n+1}}$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{2n+1}{e}^{-\frac{x^2}{a^2}}dx=\frac{n!}{2}{a}^{2n+2}$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{2n}{e}^{-a{x}^2}dx=\frac{(2n-1)!!}{a^n{2}^{n+1}}\sqrt{\frac{\pi }{a}}$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{2n+1}{e}^{-a{x}^2}dx=\frac{n!}{2a^{n+1}}$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^n{e}^{-a{x}^2}dx=\frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{n+1}{2})}{2a^{\frac{n+1}{2}}}$

Де $n$ - натуральне число, $!!$ - подвійний факторіал.

Простий спосіб їх отримання --- це диференціювання під знаком інтеграла:

$\begin{array}{cc}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{2n}{e}^{-\alpha x^2}dx& ={(-1)}^n\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{{\partial }^n}{\partial {\alpha }^n}{e}^{-\alpha x^2}dx={(-1)}^n\frac{{\partial }^n}{\partial {\alpha }^n}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-\alpha x^2}dx\\ & =\sqrt{\pi }{(-1)}^n\frac{{\partial }^n}{\partial {\alpha }^n}{\alpha }^{-\frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{\pi }{\alpha }}\frac{(2n-1)!!}{{\left(2\alpha \right)}^n}\end{array}$

Також можна використовувати інтегрувати частинами та знайти відповідне рекурентне співвідношення.

Поліноми вищих порядів

Використання лінійної заміни базису показує, що інтеграл експоненти, в степені якої однорідний многочлен від n - змінних, може залежати тільки від $SL(n)$ - інваріантів многочлена. Одним з таких інваріантів є дискримінант, нулі якого позначають особливості інтеграла. Проте інтеграл також може залежати від других інваріантів.

Експоненту, в степені якої другі парні многочлени, можна чисельно обчислити за допомогою рядів.

Вони можуть бути інтерпритовані як формальные обчислення, коли немає збіжності. Наприклад, обчислення інтеграла від експоненти, в степені якої поліном четвертого порядку, має вигляд:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+dx+f}dx=\frac{1}{2}{e}^f\sum _{\begin{array}{c}n,m,p=0\\ n+p=0mod2\end{array}}^{\mathrm{\infty }}\frac{b^n}{n!}\frac{c^m}{m!}\frac{d^p}{p!}\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{3n+2m+p+1}{4}\right)}{(-a{)}^{\frac{3n+2m+p+1}{4}}}.$

Вимога до того, щобn + p = 0 та те, що остача від ділення дорівнює 2 (mod 2) полягає в тому, що інтеграл від −∞ до 0 дає множник (−1)^n+p/2, а інтеграл від 0 до +∞ дає множник 1/2 кожного разу.

Ці інтеграли з'являються в таких областях, як квантова теорія поля.

Див. також

• Перелік інтегралів функцій Гаусса
• Загальні інтеграли в теорії квантових полів
• Нормальний розподіл
• Таблиця інтегралів експоненціальних функцій
• Функція помилок
• Інтеграл Березіна

Література

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр