Супутня матриця

Супутня матриця (Шаблон:Lang-en) нормованого многочлену

$p(t)=c_0+c_{1}t+\cdots +c_{n-1}{t}^{n-1}+t^n,$

це квадратна матриця визначена як

$C(p)=\left[\begin{array}{ccccc}0& 0& \dots & 0& -c_0\\ 1& 0& \dots & 0& -c_1\\ 0& 1& \dots & 0& -c_2\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& \dots & 1& -c_{n-1}\end{array}\right].$

Коли $e_i$ - стандартний базис маємо

$C{e}_i=C^i{e}_1=e_{i+1}$

В літературі іноді подають супутню матрицю у транспонованому вигляді.

Характеристики

Характеристичний поліном так як і мінімальний многочлен Шаблон:Math дорівнює Шаблон:Mvar.

У певному сенсі, матриця Шаблон:Math є «супутньою» до многочлена Шаблон:Mvar.

Якщо Шаблон:Mvar — n*n матриця з елементами з деякого поля Шаблон:Mvar, тоді наступні твердження тотожні:

• Шаблон:Mvar — подібна супутній матриці її характеристичного многочлена над Шаблон:Mvar
• характеристичний многочлен матриці Шаблон:Mvar збігається з мінімальним многочленом матриці Шаблон:Mvar, тотожно мінімальний многочлен має степінь Шаблон:Mvar
• існує циклічний вектор Шаблон:Math у $V=K^n$ для Шаблон:Mvar, що означає, що {v, Av, A²v, ..., Aⁿ⁻¹v} — базис V.

Не кожні квадратна матриця подібна супутній. Але кожна матриця подібна матриці складеній з блоків супутніх матриць. Більше того, ці супутні матриці можна підібрати так, що їх многочлени ділитимуть один одного; тоді вони унікально визначені Шаблон:Mvar. Це буде Фробеніусова нормальна форма Шаблон:Mvar.

Зведення до діагонального виду

Якщо Шаблон:Math має різні корені Шаблон:Math (власні значення C(p)), тоді C(p) можна діагоналізувати так:

$VC(p)V^{-1}=\mathrm{diag}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n)$

де Шаблон:Mvar — визначник Вандермонда відповідних Шаблон:Mvar — коренів.

Лінійні рекурентні послідовності

Транспонована супутня матриця

$C^T(p)=\left[\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 1\\ -c_0& -c_1& -c_2& \cdots & -c_{n-1}\end{array}\right]$

характеристичного полінома

$p(t)=c_0+c_{1}t+\cdots +c_{n-1}{t}^{n-1}+t^n$

породжує лінійну рекурентну послідовність $a_0,a_1,\dots ,a_k,\dots$, в такому сенсі

$C^T\left[\begin{array}{c}{a}_k\\ a_{k+1}\\ ⋮\\ a_{k+n-1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{a}_{k+1}\\ a_{k+2}\\ ⋮\\ a_{k+n}\end{array}\right],$

де елементи послідовності задовольняють системі лінійних рівнянь

$a_{k+n}=-c_0{a}_k-c_1{a}_{k+1}-\dots -c_{n-1}{a}_{k+n-1}$

для усіх $k\ge 0$.

Див. також

• Теорема Гамільтона — Келі

Джерела

• Шаблон:Гантмахер.Теорія матриць
• Шаблон:Ланкастер.Теорія матриць
• Шаблон:Хорн.Джонсон.Матричний аналіз