Циклічна перестановка

Перестановка 8-ми елементів одним циклом.

В математиці, і зокрема в теорії груп, цикл — перестановка елементів деякої множини X, яка відображає елементи деякої підмножини S в X один в інший циклічним чином, тоді як інші елементи X залишаються фіксованими. Наприклад, перестановка {1, 2, 3, 4}, що переставляє 1 в 3, 2 в 4, 3 в 2 і 4 в 1 є циклом, тоді як перестановка 1 в 3, 2 в 4, 3 в 1 і 4 в 2 ні (це окремі пари {1, 3} і {2, 4}). Множина S називається орбітою циклу.

Визначення

Перестановка 8-ми елементів з двома фіксованими елементами та одним циклом на 6 елементів

.

Перестановка множини X, яка бієктивною функцією $\sigma :X\to X$, називається циклом, якщо дія на X підгрупи утвореної $\sigma$ має саме одну орбіту з більш як одним елементом. Це поняття найчастіше вживають коли X скінченна множина; тоді й орбіта S скінченна. Нехай $s_0$ довільний елемент з S, і покладемо $s_i={\sigma }^i(s)$ для будь-якого $i\in 𝐙$. З того, що по припущенню S містить більше ніж один елемент, $s_1\ne s_0$; якщо S скінченна, існує мінімальне число $k>1$ для якого $s_k=s_0$. Тоді $S=\{s_0,s_1,\dots ,s_{k-1}\}$, і $\sigma$ є переставка визначена

$\sigma (s_i)=s_{i+1}\text{for }0\le i<k$

і $\sigma (x)=x$ для будь-якого елементу з $X\setminus S$. Елементи не зафіксовані $\sigma$ можна зобразити як

$s_0\mapsto s_1\mapsto s_2\mapsto \cdots \mapsto s_{k-1}\mapsto s_k=s_0$.

Цикл можна записати за допомогою циклічного запису $\sigma =(s_0{s}_1\dots s_{k-1})$ (коми тут не вживаються з метою уникнення плутанини з k-кортежем). Довжина циклу — це кількість елементів його орбіти. Цикл довжини k також звуть k-цикл.

Основні властивості

Перестановка 8-ми елементів з двома фіксованими елементами та двома циклами

.

Один з головних вислідів у симетричних групах стверджує, що будь-яку перестановку можна виразити як добуток неперетинних циклів (точніше: циклів з неперетинними орбітами); такі цикли комутують між собою, і вираз перестановки унікальний з точністю до порядку циклів (але зверніть увагу, що циклічний запис не унікальний: кожен k-цикл сам по собі може бути представлений k різними способами, в залежності від вибору $s_0$ в його орбіті). Отже мультимножина довжин циклів в цьому виразі унікально визначає перестановку, парність і клас спряженості перестановки в симетричній групі також визначаються цим.

Кількість k-циклів у симетричній групі S_n для $2\le k\le n$ дається такими тотожними формулами

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(k-1)!=\frac{n(n-1)\cdots (n-k+1)}{k}=\frac{n!}{(n-k)!k}$

k-цикл має парність (−1)^k − 1.

Транспозиції

Цикл з лише двома елементами називається транспозицією. Наприклад перестановка {1, 4, 3, 2}, яка переводить 1 в 1, 2 в 4, 3 в 3 і 4 в 2 — це транспозиція (а саме така, що міняє місцями 2 і 4).

Джерела

• Шаблон:Вишенський.Перестюк.Комбінаторика