Теорема Гамільтона — Келі

Теоре́ма Га́мільтона — Ке́лі (на честь Вільяма Гамільтона та Артура Келі) стверджує, що результат підстановки квадратної матриці $A$ до її характеристичного многочлена тотожно дорівнює нулю:

$p_A(A)=0.$

Теорема Гамільтона-Келі дозволяє виразити поліноми високого степеня від $n\times n$ матриці $A$ як лінійні комбінації $A^{n-1},\dots ,A,I.$ Твердження теореми є справедливим для матриць із елементами із будь-якого комутативного кільця з одиницею зокрема будь-якого поля.

Пояснення та приклади

Оскільки результатом додавання, множення та множення на скаляр квадратних матриць є квадратна матриця, то можна конструювати многочлени з матриць.

Тому для довільного многочлена $f(x)=a_0{x}^k+a_1{x}_{k-1}+\dots +a_{k-1}x+a_k$ можливо розглянути вираз

$f(A)=a_0{A}^k+a_1{A}^{k-1}+\dots +a_{k-1}A+a_{k}I,$

який є квадратною матрицею того самого порядка, що й $A.$

Приклад

$A=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 2& 3\end{array}\right],p_A(\lambda )={\lambda }^2-3\lambda -2.$

Тоді $A^2=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 2& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 2& 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2& 3\\ 6& 11\end{array}\right],p_A(A)=A^2-3A-2I=\left[\begin{array}{cc}2& 3\\ 6& 11\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}0& 3\\ 6& 9\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right].$

Доведення

Часткові випадки

• Доведемо теорему для матриць 2x2.

Маємо $A=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right],p_A(\lambda )={\lambda }^2-(\mathrm{tr}A)\lambda +(\det A),$ тому

$p_A(A)=A^2-(a+d)A+(ad-bc)I=\left[\begin{array}{cc}{a}^2+bc& ab+bd\\ ca+dc& cb+d^2\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}(a+d)a& (a+d)b\\ (a+d)c& (a+d)d\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}ad-bc& 0\\ 0& ad-bc\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right].$

• Розглянемо випадок діагональних матриць.

Якщо $A=\mathrm{diag}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n)$ — діагональна матриця і $f(x)$ — поліном, то

$f(A)=\mathrm{diag}(f({\lambda }_1),\dots ,f({\lambda }_n)).$

Для характеристичного полінома $p_A({\lambda }_1)=\dots =p_A({\lambda }_n)=0,$ тому одержуємо $p_A(A)=\mathrm{diag}(0,\dots ,0).$

Загальний випадок

Позначимо через $B$ союзну матрицю для характеристичної матриці $\lambda I_n-A.$

Елементи матриці В є алгебраїчними доповненнями елементів визначника $\lambda I_n-A,$ і тому є многочленами від λ, степені не вище n-1. Отже матрицю В можна представити у вигляді полінома з матричними коефіцієнтами:

$B=\sum _{i=0}^{n-1}{\lambda }^i{B}_i.$

За властивостями союзних матриць:

$B\cdot (\lambda I_n-A)=\det (\lambda I_n-A)I_n=p(\lambda )I_n$

Нехай:

$p(\lambda )={\lambda }^n+{\lambda }^{n-1}{c}_{n-1}+\cdots +\lambda c_1+c_0,$

Підставимо і отримаємо:

$\sum _{i=0}^{n-1}{\lambda }^i{B}_i(\lambda I_n-A)={\lambda }^n{I}_n+{\lambda }^{n-1}{c}_{n-1}{I}_n+\cdots +\lambda c_1{I}_n+c_0{I}_n,$

Розкриваючи дужки і прирівнявши коефіцієнти при однакових степенях λ, одержимо:

$I_n=B_{n-1}$

$c_i{I}_n=B_{i-1}-B_i\cdot A,0<i<n$

$c_0{I}_n=-B_0\cdot A$

Помножимо ці рівності відповідно на $A^n,A^{n-1},\dots ,I_n$ справа і додамо. Всі члени правої частини скоротяться і ми одержимо

$p(A)=A^n+c_{n-1}{A}^{n-1}+\cdots +c_{1}A+c_0{I}_n=0.$

Див. також

• Анулюючий многочлен
• Теорема Філіпса

Джерела

• Шаблон:Гантмахер.Теорія матриць
• Шаблон:Гельфанд.Линейная алгебра