Мінімальний многочлен матриці

Шаблон:For Мінімальний многочлен матриці A розмірності n×n над полем F — многочлен p(x) над полем F, такий, що p(A)=0, старший коефіцієнт якого рівний 1 і степінь якого мінімальна серед таких многочленів. Для довільної матриці такий многочлен існує і є єдиним.

Властивості

• Нехай p(x) — мінімальний многочлен матриці A і g(x) — деякий інший многочлен, такий що g(A) = 0 (анулюючий многочлен матриці A). Тоді p(x) ділить многочлен g(x). Еквівалентно, якщо для матриці A над полем $𝕂$ визначити множину:

${𝐼}_A=\{g\in 𝕂[t]|g(T)=O\}$

то ${𝐼}_A$ буде ідеалом в кільці $𝕂$ многочленів над полем $𝕂$. Цей ідеал тоді буде головним, породженим мінімальним многочленом p(x).

• Такі твердження є еквівалентними:

1. $\lambda \in 𝕂$ є коренем многочлена p(x),
2. λ є коренем характеристичного многочлена матриці A,
3. λ є власним значенням матриці A.

• Кратність кореня λ мінімального многочлена p(x) рівна розміру найбільшого жорданового блоку, що відповідає числу λ
• Якщо матрицю A можна привести до діагонального виду у полі $𝕂$, то многочлен p(x) у полі $𝕂$ можна розкласти на лінійні множники, причому всі корені тоді відмінні.

Обчислення

Визначимо I _{A, v} як:

${𝐼}_{A,v}=\{p\in 𝕂[t]|v\in \text{Ker}p(A)\}=\{p\in 𝕂[t]|p(A)(v)=0\}.$

Дана множина є головним ідеалом. Нехай ${\mu }_{A,v}$ многочлен зі старшим коефіцієнтом 1, що породжує цей ідеал.

• Многочлен ${\mu }_{A,v}$ ділить p(x).
• Якщо d — найбільше натуральне число, таке що v, A(v), ... , A^d(v) є лінійно незалежними,тоді

${\alpha }_{0}v+{\alpha }_{1}A(v)+\dots +{\alpha }_n{A}^d(v)+A^{d+1}(v)=0$

для деяких ${\alpha }_0,{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n\in 𝕂$ і

${\mu }_{A,v}(t)={\alpha }_0+{\alpha }_{1}t+\dots +{\alpha }_n{t}^d+t^{d+1}.$

• Для базису {v₁,..., v_n} мінімальний многочлен рівний найменшому спільному кратному многочленів ${\mu }_{A,v_i}$ для всіх i = 1, ... , n.

Див. також

• Анулюючий многочлен
• Характеристичний многочлен
• Власне значення матриці

Джерела

• Шаблон:Гантмахер.Теорія матриць
• Шаблон:Ланкастер.Теорія матриць
• Шаблон:Хорн.Джонсон.Матричний аналіз
• Higham, Nicholas (2008), Functions of Matrices. Theory and Computation, SIAM, ISBN 978-0-89871-646-7 .