Проблема Гурвіца

Проблема Гурвіца — проблема в математиці (названа на честь Адольфа Гурвіца), пов'язана зі знаходженнам мультиплікативних відношень між квадратичними формами.

Опис

Існує рівність розмірності 2 (тотожність Брамагупти)

$(x^2+y^2)(u^2+v^2)=(xu-yv{)}^2+(xv+yu{)}^2$

Ще існують тотожність чотирьох квадратів, тотожність восьми квадратів.

Їх можна використовувати для правила множення норм комплексних числе $ℂ$, кватерніонів ($ℍ$), октоніонів ($𝕆$) відповідно.

$\mathrm{\forall }x,y\in A\Vert x\Vert \Vert y\Vert =\Vert xy\Vert$.

Проблема Гурвіца: для поля Шаблон:Mvar знайти загальне відношення у формі

$(x_1^2+\cdots +x_r^2)\cdot (y_1^2+\cdots +y_s^2)=(z_1^2+\cdots +z_n^2),$

де Шаблон:Mvar — білінійна форма від Шаблон:Mvar та Шаблон:Mvar.

Якщо така тотожність існує, трійки $(r,s,n)$ називають допустимими для Шаблон:Mvar,. Тривіальними допустимими є трійки $(r,s,rs).$ Проблема є не цікавою коли Шаблон:Mvar має характеристику 2, оскільки над такими полями сума двох квадратів є квадратом.

Теорема Гурвіца — Радона

1898 року Гурвіц сформулював проблему для випадку $r=s=n$ і показав, що для поля $ℂ$, допустимими є лише $(n,n,n)$ де $n\in \{1,2,4,8\}.$ Його доведення можна розширити для довільного поля з характеристикою, відмінною від  2.

Проблема Гурвіца — Радона полягає у знаходженні трійок виду $(r,n,n).$ Очевидно, $(1,n,n)$ є допустимими. Теорема стверджує, що допустимими є $(\rho (n),n,n)$, де $\rho (n)$ визначена для $n=2^{u}v,$ Шаблон:Mvar непарне, $u=4a+b,$ із $0\le b\le 3,$ та $\rho (n)=8a+2^b.$

Іншими допустимими трійками є $(3,5,7),(10,10,16).$

Див. також

• Композитна алгебра
• Теорема Гурвіца про композитні алгебри