Оператор (фізика)

Оператор у квантовій механіці — це лінійне відображення, яке діє на хвильову функцію, яка є комплекснозначною функцією, що дає найбільш повний опис стану системи. Оператори позначаються великими латинськими літерами з циркумфлексом угорі. Наприклад:

$\hat{A},\hat{B},\hat{C},\dots$

Оператор діє на функцію, яка стоїть праворуч від нього (кажуть також, що він застосовується до функції або множиться на функцію):

$\hat{A}{\mathrm{\Psi }}_1={\mathrm{\Psi }}_2$

У квантовій механіці використовується математична властивість лінійних самоспряжених (ермітових) операторів, яка полягає в тому, що кожен з них має власні вектори і власні дійсні значення. Вони виступають у ролі відповідних даному оператору значень фізичних величин.

Арифметичні операції над операторами

Оператор $\hat{C}$ називається сумою (різницею) операторів $\hat{A},\hat{B}$, якщо для будь-якої функції $\mathrm{\Psi }$ з області визначення всіх трьох операторів виконано умову:

$\hat{C}\mathrm{\Psi }=\hat{A}\mathrm{\Psi }\pm \hat{B}\mathrm{\Psi }$

Оператор $\hat{C}$ називається добутком операторів $\hat{A},\hat{B}$, Якщо для будь-якої функції $\mathrm{\Psi }$ виконано умову:

$\hat{C}\mathrm{\Psi }=\hat{A}(\hat{B}\mathrm{\Psi })$

В загальному випадку

$\hat{A}\hat{B}=\hat{B}\hat{A}$

якщо $\hat{A}\hat{B}=\hat{B}\hat{A}$, то кажуть, що оператори $\hat{A},\hat{B}$ комутують. Комутатор операторів визначається як

$[\hat{A},\hat{B}]=\hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A}$

Власні значення і власні функції оператора

Якщо має місце рівність:

$\hat{A}\mathrm{\Psi }=a\mathrm{\Psi },$

то $a$ називають власним значенням оператора $\hat{A}$, а функцію $\mathrm{\Psi }$ — власною функцією оператора $\hat{A},$ яка відповідає цьому власному значенню. Найчастіше в оператора є множина власних значень: $a_1,a_2,\dots ,a_n,\dots$ Множина всіх власних значень називається спектром оператора.

Лінійні і самоспряжені оператори

Оператор $\hat{L}$ називається лінійним, якщо для будь-якої пари ${\phi }_i,C_i$ виконується умова:

$\hat{L}\sum _i{C}_i{\phi }_i=\sum _i{C}_i\hat{L}{\phi }_i.$

Оператор $\hat{A}$ називається самоспряженим (ермітовим), якщо для будь-яких $\mathrm{\Psi },\phi$ виконується умова:

$⟨\mathrm{\Psi }|\hat{A}\phi ⟩=⟨\hat{A}\mathrm{\Psi }|\phi ⟩$

При цьому сума самоспряжених операторів є самоспряженим оператором. Добуток самоспряжених операторів є самоспряженим оператором, якщо вони комутують. Власні значення самоспряжених операторів завжди дійсні. Власні функції самоспряжених операторів, що відповідають різним власним значенням, ортогональні.

Оператори, які використовуються у квантовій фізиці

Основними характеристиками фізичної системи у квантовій фізиці є спостережувані величини і стани.

У квантовій фізиці спостережуваним величинам зіставляються лінійні самоспряжені оператори в комплексному сепарабельному гільбертовому просторі, станам — класи нормованих елементів цього простору (з нормою 1). Це робиться переважно з двох причин:

• Власні значення самоспряжених операторів, що відповідають конкретним значенням фізичних величин, є дійсними числами, тобто тим, з чим на практиці мають справу експериментатори (покази приладів, результати обчислень тощо).

• Одна й та сама квантова частинка може перебувати одночасно у множині квантових станах, які й характеризуються множиною власних значень відповідного оператора. Це може бути скінченна множина (дискретний спектр значень), інтервал (неперервний спектр значень) або змішана множина.

У квантовій фізиці існує «нестроге» правило для побудови оператора фізичних величин: співвідношення між операторами в цілому таке ж, як між відповідними класичними величинами. Ґрунтуючись на цьому правилі, було введено такі оператори (в координатному поданні):

• Оператор координат:

$\widehat{𝐱}=x$

Дія оператора координат полягає у множенні на вектор координат.

• Оператор імпульсу:

$\widehat{𝐩}=-i\hslash \mathrm{\nabla }$

Тут $i$ — уявна одиниця, $\mathrm{\nabla }$ — оператор набла.

• Оператор кінетичної енергії:

$\hat{T}=-\frac{{\hslash }^2}{2m}\mathrm{\Delta }$

тут $\hslash$ — стала Дірака, $\mathrm{\Delta }$ — оператор Лапласа.

• Оператор потенціальної енергії:

$\hat{U}=U(x,y,z,t)$

Дія оператора тут зводиться до множення на функцію.

• Оператор Гамільтона:

$\hat{H}=\hat{T}+\hat{U}$

• Оператор моменту імпульсу:

$\widehat{𝐋}=-i\hslash [𝐫,\mathrm{\nabla }]$

Такий вигляд було обрано також з причин, пов'язаних з теоремою Нетер і групою SO(3)

• Оператор спіну:

У найважливішому випадку спіну 1/2 оператор спіну має вигляд: $\hat{s}=\frac{1}{2}\hat{\sigma }$, де

${\hat{\sigma }}_x=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$, ${\hat{\sigma }}_y=\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right)$, ${\hat{\sigma }}_z=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$ — так звані матриці Паулі. Цей вигляд аналогічний попередньому, але пов'язаний з групою SU(2).

Див. також

• Картина Гейзенберга
• Картина Шредінгера
• Гамільтоніан
• Оператор (математика)

Література

1. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. «Шаблон:Нп», в 10 т., т. 3, «Квантовая механика (нерелятивистская теория)», 5-е изд., Москва, Физматлит, 2002, 808 с., ISBN 5-9221-0057-2 (т. 3);
2. «Функциональный анализ», изд. 2, перер. и дополн. (серия «Справочная математическая библиотека»,) коллектив авторов, ред. С. Г. Крейн, Москва, «Наука», 1972, 517.2 Ф 94 УДК 517.4(083, 544 с., гл. 9 «Операторы квантовой механики», с. 423—455;