Оператор імпульсу

Оператор імпульсу - квантовомеханічний оператор, відповідний імпульсу в класичній механіці, який визначається формулою

$\widehat{𝐩}=-i\hslash \mathrm{\nabla }$,

де $\hslash$ - зведена стала Планка, $\mathrm{\nabla }$ - оператор Гальмільтона, i - уявна одиниця.

Власні функції та власні значення

Власними функціями оператора імпульсу є функції

${\psi }_{𝐤}(𝐫)=e^{i𝐤\cdot 𝐫}$,

де $𝐤$ - дійсний вектор, який називають хвильовим вектором.

$\widehat{𝐩}{\psi }_{𝐤}(𝐫)=\hslash 𝐤{\psi }_{𝐤}(𝐫)$,

тому власні значення оператора імпульсу $\hslash 𝐤$. Значення хвильового вектора також відіграє роль квантового числа, яким можна індексувати хвильові функції.

Комутаційні співвідношення

Для кожної з компонент оператора імпульсу справедливо:

${\hat{p}}_x(x\varphi (x))=-i\hslash \varphi (x)+x{\hat{p}}_x\varphi (x)$,

де $\varphi (x)$ - будь-яка функція.

Тому:

$[x,{\hat{p}}_x]=x{\hat{p}}_x-{\hat{p}}_{x}x=i\hslash$.

Це комутаційне співвідношення центральне для квантової механіки — з нього виводяться усі інші. Різні компоненти оператора імпульсу комутують між собою, а також із «не своїми» координатами, наприклад:

$[{\hat{p}}_x,{\hat{p}}_y]=0$,

$[x,{\hat{p}}_y]=x{\hat{p}}_y-{\hat{p}}_{y}x=0$.

Джерела

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга