Момент імпульсу

Шаблон:UniboxШаблон:Фізична теорія Моме́нт і́мпульсу (також: кутовий момент, момент кількості руху) — векторна величина, що характеризує величину та напрямок обертального руху тіла. Для матеріальної точки вона дорівнює векторному добутку радіус-вектора точки $𝐫$ та її імпульсу $𝐩$.

Момент імпульсу в класичній механіці

Зв'язок між імпульсом $𝐩$ і моментом $𝐋$

Визначення

Моментом імпульсу матеріальної точки відносно початку координат в класичній механіці є псевдовектор, який дорівнює векторному добутку радіус-вектора даної точки та її імпульсу:

$𝐋=𝐫\times 𝐩$

Відповідно,

• $𝐋$ — момент імпульсу;
• $𝐫$ — радіус-вектор;
• $𝐩$ — імпульс.

Якщо фізична система складається з багатьох матеріальних точок, то результуючий момент імпульсу відносно початку координат є сумою (інтегралом) усіх моментів імпульсу складових системи.

Для багатьох практичних задач, які вивчають властивості об'єкта, що обертається навколо певної осі, достатньо проаналізувати скалярне значення моменту імпульсу $L$, яке є проєкцією вектора моменту імпульсу на дану вісь і може бути як додатним, так і від'ємним. Ця величина також називається моментом імпульсу відносно осі. Відповідно до визначення векторного добутку векторів, скаляр моменту імпульсу визначається як

$L=|{𝐫}_{\mathbf{\perp }}||{𝐩}_{\mathbf{\perp }}|\sin {\theta }_{r,p}$,

де ${𝐫}_{\mathbf{\perp }}$ та ${𝐩}_{\mathbf{\perp }}$ — проєкції векторів $𝐫$ та $𝐩$ на площину, що перпендикулярна даній осі, ${\theta }_{r,p}$ — кут між ${𝐫}_{\mathbf{\perp }}$ та ${𝐩}_{\mathbf{\perp }}$, який вимірюється від ${𝐫}_{\mathbf{\perp }}$ до ${𝐩}_{\mathbf{\perp }}$; такий порядок обходу векторів при визначенні кута є принциповим. Якщо порядок змінити на зворотний, зміниться й знак.

Для тіла сталої маси, яке обертається навколо фіксованої осі, момент імпульсу можна визначити як добуток моменту інерції тіла відносно цієї осі та кутової швидкості обертання тіла:

$𝐋=I\mathit{\omega }$,

де $I$ — скалярний момент інерції, $\mathit{\omega }$ — вектор кутової швидкості. У випадку довільного обертання величина $I$ є тензором другого рангу і називається тензором інерції. Тоді $𝐋$ може бути непаралельним до $\mathit{\omega }$.

Момент імпульсу у Спеціальній теорії відносності та класичній теорії поля

У Спеціальній теорії відносності вектор моменту імпульсу дає компоненти антисиметричного тензора другого рангу — тензора моменту імпульсу та спіну:

$L_{\alpha \beta }=x_{\alpha }{p}_{\beta }-x_{\beta }{p}_{\alpha }$,

або, у явному вигляді,

$L_{\alpha \beta }=(𝐆,𝐋)=\left(\begin{array}{cccc}0& -G_x& -G_y& -G_z\\ G_x& 0& L_z& -L_y\\ G_y& -L_z& 0& L_x\\ G_z& L_y& -L_x& 0\end{array}\right)$,

де $𝐋=[𝐫\times 𝐩],𝐆=\frac{E}{c}𝐫-ct𝐩$ — вектори моменту імпульсу та спіну.

Тензорне представлення вектора моменту імпульсу виникає з того, що перетворення Лоренца даного вектора збігається з перетворенням Лоренца компонент антисиметричного тензора.

У рамках класичної теорії поля тензором моменту імпульсу та спіну називають струм, який відповідає інваріантності лагранжіана поля щодо перетворень Лоренца, які можна інтерпретувати як повороти у 4-просторі-часі:

$J_{\mu ,\alpha \beta }=L_{\mu ,\alpha \beta }+S_{\mu ,\alpha \beta }=(x_{\alpha }{T}_{\mu \beta }-x_{\beta }{T}_{\mu \alpha })+\frac{\partial L}{\partial ({\partial }^{\mu }{\mathrm{\Psi }}_k)}{Y}_{k,\alpha \beta }$,

де $T_{\alpha \beta }$ — тензор енергії-імпульсу, ${\mathrm{\Psi }}_k$ — поле, $Y_{k,\alpha \beta }$ — величина-похідна, що визначає трансформаційні властивості поля щодо перетворення Лоренца.

Наявність спінової частини у тензорі моменту імпульсу та спіну тісно пов'язано із симетрією тензора енергії-імпульсу відносно перестановки індексів. Якщо тензор енергії-імпульсу симетричний, то кутова та спінова частини тензора моменту імпульсу та спіну зберігаються (у термінах теорії поля) окремо. Якщо ж провести процедуру "занесення" спінової частини до кутової тензору моменту імпульсу та спіну, то одночасно із цим можна симетризувати тензор енергії-імпульсу. Така процедура називається процедурою Беліфанте. $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$

Закон збереження моменту імпульсу

Момент імпульсу — одна з фізичних величин, для якої діє фундаментальний закон збереження.

Назвемо замкненою (в сенсі обертання) таку систему, для якої сума моментів зовнішніх сил $𝐌$ дорівнює нулю. Для такої системи

$\frac{d𝐋}{dt}=\sum {𝑴}_{𝒊}=0$,

звідки

$𝐋=\text{const}$.

Тобто, в замкненій системі момент імпульсу зберігається незмінним. Як випливає з теореми Нетер, таке твердження є наслідком ізотропності (тобто рівноцінності всіх напрямів) простору.

Момент імпульсу у квантовій фізиці

Шаблон:Докладніше В квантовій механіці момент імпульсу визначається не як фізична величина, а як оператор над вектором стану.

Оператор моменту імпульсу має вигляд:

$𝐋=𝐫\times 𝐩$

де r та p — оператори радіус-вектора та імпульсу системи.

Для вільної частинки без спіну та електричного заряду, оператор моменту імпульсу може бути наведений в такій формі:

$𝐋=-i\hslash (𝐫\times \mathrm{\nabla })$, де $\mathrm{\nabla }$ — оператор Гамільтона.

Окремі компоненти оператора моменту імпульсу не комутують між собою. Внаслідок цього їх неможливо визначити одночасно. Детальніше дивись в статті оператор кутового моменту.

Див. також

• Теорема про зміну моменту імпульсу системи

Джерела

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга