Одинична гіпербола

Одиничну гіперболу позначено синім, її спряжену зеленим, асимптоти червоним.

В геометрії одинична гіпербола — це набір точок $(x,y)$ декартової площини, які задовольняють рівняння $x^2-y^2=1.$ У теорії невизначених ортогональних груп одинична гіпербола є основою для альтернативної радіальної довжини (довжина вектора від початку координат до точки$(x,y)$)

$r=\sqrt{x^2-y^2}.$

Одиничне коло $x^2+y^2=1$ повністю оточує свій центр, тоді як одиничну гіперболу $x^2-y^2=1$ для цього необхідно доповнити її спряженою $y^2-x^2=1$. Ця пара гіпербол має спільні асимптоти $y=x$ і $y=-x$. Коли мова йде про спряжену одиничну гіперболу, альтернативна радіальна довжина визначається як $r=\sqrt{y^2-x^2}.$

Одинична гіпербола є частковим випадком прямокутної гіперболи з конкретними орієнтацією, розташуванням і масштабом. Отже, її ексцентриситет може бути однозначно обчислений і дорівнює $\sqrt{2}.$

Одинична гіпербола знаходить застосування в задачах аналітичної геометрії, де коло доводиться замінити гіперболою. Яскравим прикладом є зображення простору-часу як псевдоевклідового простору, де асимптоти одиничної гіперболи утворюють світловий конус. Крім того, результатом вивчення Ґреґуаром де Сен-Венсаном площ гіперболічних секторів стали функція логаритмування та сучасна параметризація гіперболи площами секторів.

Коли розуміються поняття спряжених гіпербол і гіперболічних кутів, класичні комплексні числа, побудовані на понятті одиничного кола, можна замінити числами, побудованими на понятті одиничної гіперболи.

Асимптоти

Зазвичай асимптоти визначаються як лінії, що збігаються до кривої. В алгебраїчній геометрії і теорії алгебраїчних кривих існує інший підхід. Крива спочатку розглядається як крива деякої проєктивної площини в однорідних координатах. Тоді асимптоти – це лінії, котрі є дотичними до проєктивної кривої в нескінченній точці, таким чином зникає потреба в концепції відстані та збіжності. У стандартних однорідних координатах $(x:y:z)$ пряма на нескінченності задається рівнянням z = 0. Наприклад, К. Г. Гібсон писав:

Для стандартної прямокутної гіперболи $f=x^2-y^2-1$ у ℝ², відповідна проєктивна крива це $F=x^2-y^2-z^2,$ що проходить через $z=0$ у точках $P=(1:1:0)$ і $Q=(1:-1:0)$. І $P$, і $Q$ прості на $F$ з дотичними $x+y=0$, $x-y=0$; таким чином ми отримуємо вже знайоме поняття асимптот.

Діаграма Мінковського

Діаграму Мінковського малюють у просторово-часовій площині, де простір обмежують лише одним виміром (у координатах $t$ та $x$). Як одиниці відстані і часу на такій площині використовують

• одиниці довжини по 30 сантиметрів і наносекунди
• астрономічні одиниці та інтервали 8 хвилин 20 секунд
• світлові роки й роки

У кожному із зазначених масштабів координат рух фотонів утворює світові лінії, що йдуть під кутом $45^{\circ }$ до кожної осі (кутовий коефіцієнт $\pm 1$). Герман Мінковський використовував для опису перетворень Лоренца п'ять елементів: одинична гіпербола, її спряжена гіпербола, її осі, діаметр та спряжений діаметр. Осі гіперболи є осями координат статичної системи відліку. Діаметр одиничної гіперболи відповідає системі відліку, що рухається зі стрімкістю $w$, де $\tanh w=y/x$, а $(x,y)$ — кінцева точка діаметра, що лежить на одиничній гіперболі. Спряжений діаметр є просторовою гіперплощиною одночасності (на якій лежать одночасні події) у системі відліку, що відповідає стрімкості a. Ця одинична гіпербола є калібрувальною гіперболою . Зазвичай у теорії відносності гіпербола з вертикальною віссю вважається основною:

Вісь часу йде від низу до верху графіка — формальність, прийнята Річардом Фейнманом у його знаменитих діаграмах. Просторові осі йдуть перпендикулярно до осі часу. Подія, що відповідає "тут і зараз", лежить у початку координат.

Домовленість малювати вісь часу вертикально закріпилася через Мінковського в 1908 році, а також була використана в ілюстрації на 48 сторінці книги Еддінгтона «Природа фізичного світу» (1928).

Параметризація

Гілки одиничної гіперболи утворюються точками $(\cosh a,\sinh a)$ і $(-\cosh a,-\sinh a)$ залежно від параметра гіперболічного кута $a$.

Почнімо з параметризації повернутої одиничної гіперболи $xy=1$ за допомогою експоненціальної функції: $(e^t,e^{-t}).$

Ця гіпербола може бути приведена до традиційної одиничної гіперболи $x^2-y^2=1$ за допомогою лінійного відображення (повороту), що має матрицю $A=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right):$

$(e^t,e^{-t})A=(\frac{e^t+e^{-t}}{2},\frac{e^t-e^{-t}}{2})=(\cosh t,\sinh t).$

Параметр $t$ називається гіперболічним кутом і є аргументом гіперболічних функцій.

Можна знайти ранню згадку параметризації одиничної гіперболи в "Елементи Динаміки" (1878) Вільяма Кліфорда. Він описує квазігармонійний рух по гіперболі наступним чином:

Рух $\rho =\alpha \cosh (nt+ϵ)+\beta \sinh (nt+ϵ)$ має деякі цікаві аналогії з еліптичним гармонійним рухом. ... Прискорення $\ddot{\rho }=n^2\rho$, отже, воно завжди пропорційне відстані від центру, як і в еліптичному гармонійному русі, але спрямоване від центру.

Як частковий випадок конічного перерізу, гіпербола може бути параметризована шляхом додавання точок на ній.

Зафіксуймо точку Е на гіперболі. Точки, в яких пряма, проведена через E паралельно AB, перетинає гіперболу вдруге, називатимемо сумою точок A і B .

Для гіперболи $x^2-y^2=1$ з фіксованою точкою $E=(1,0)$ сума точок $(x_1,y_1)$ і $(x_2,y_2)$ це точка $(x_1{x}_2+y_1{y}_2,y_1{x}_2+y_2{x}_1)$. У параметризації $x=\cosh t$ і $y=\sinh t$ це додавання відповідає додаванню параметра t.

Алгебра на комплексній площині

Тоді як одиничне коло має велике значення на комплексній площині, одинична гіпербола є ключовим поняттям для площини подвійних чисел, що мають вигляд $z=x+yj$, де $j^2=+1$. Легко показати, що $jz=y+xj$. Отже, дія $j$ на площину полягає в тому, щоб поміняти місцями координати. Зокрема, ця дія міняє місцями одиничну гіперболу та її спряжену, а також пари спряжених діаметрів гіпербол.

Усі точки гіперболи можна виразити через параметр гіперболічного кута $\alpha$ як

$\pm (\cosh \alpha +j\sinh \beta )$, де j = (0,1).

Права гілка одиничної гіперболи відповідає додатному коефіцієнту. Фактично ця гілка є образом експоненціального відображення, що діє на вісь j. Оскільки

$\exp (\alpha j)\exp (\beta j)=\exp ((\alpha +\beta )j)$,

ця гілка є групою відносно множення. На відміну від групи, що утворює коло, група, що утворює одиничну гіперболу, не є компактною. Подібно до звичайної комплексної площини, точка не на діагоналях має полярний розклад за допомогою параметра гіперболічного кута $\alpha$ та альтернативної радіальної довжини $r$

$x+yj=r(\cosh \alpha +j\sinh \alpha )=r\cdot \exp (\alpha j)$

Наведені варіанти запису називають алгебраїчний, тригонометричний та експоненціальний відповідно.

Список літератури

• F. Reese Harvey (1990) Spinors and calibrations, Figure 4.33, page 70, Academic Press, Шаблон:ISBN.