Нільпотентна алгебра Лі

В математиці, алгебра Лі називається нільпотентною якщо її нижній центральний ряд зрештою стає рівним нулю. Він є Лі алгебраїчним аналогом нільпотентних груп.

Означення

Нехай $𝔤$ — алгебра Лі. Тоді $𝔤$ називається нільпотентною якщо нижній центральний ряд рівний нулю починаючи з деякого члена, тобто якщо ${𝔤}_n=0$ для деякого Шаблон:Math.

А саме

$[X_1,[X_2,[\cdots [X_n,Y]\cdots ]]={\mathrm{a}\mathrm{d}}_{X_1}{\mathrm{a}\mathrm{d}}_{X_2}\cdots {\mathrm{a}\mathrm{d}}_{X_n}Y\in {𝔤}_n=0$

$\mathrm{\forall }{X}_1,X_2,\dots ,X_n,Y\in 𝔤,(1)$

тож Шаблон:Math.

Еквівалентні означення

Наслідком означення (1) є те, що

$[X,[X,[\cdots [X,Y]\cdots ]={{\mathrm{a}\mathrm{d}}_X}^{n}Y\in {𝔤}_n=0\mathrm{\forall }X,Y\in 𝔤.(2)$

Тому Шаблон:Math для всіх $X\in 𝔤$. Тобто, Шаблон:Math є нільпотентним ендоморфізмом. Такий елемент Шаблон:Math в $𝔤$ називається ad-нільпотентним.

Навпаки, якщо $𝔤$ є скінченновимірною, умова (2) є еквівалентною умові (1), згідно теореми Енгеля

Алгебра Лі $𝔤$ є нільпотентною тоді і тільки тоді коли $𝔤$ є ad-нільпотентною.

Іншою еквівалентною умовою нільпотентності $𝔤$ є: $𝔤$ є нільпотентною тоді і тільки тоді коли $\mathrm{a}\mathrm{d}𝔤$ є нільпотентною алгеброю Лі. Це випливає з того що на основі (1) $\mathrm{a}\mathrm{d}𝔤$ є нільпотентною, оскільки Шаблон:Math вкладені дужки Лі будуть мати форму, як в (1). Навпаки

$[[\cdots [[X_n,X_{n-1}],\cdots ,X_2],X_1]=\mathrm{a}\mathrm{d}[\cdots [X_n,X_{n-1}],\cdots ,X_2](X_1),$ і оскільки Шаблон:Math є гомоморфізмом алгебр Лі,

$\begin{array}{cc}\mathrm{a}\mathrm{d}[\cdots [X_n,X_{n-1}],\cdots ,X_2]& =[\mathrm{a}\mathrm{d}[\cdots [X_n,X_{n-1}],\cdots X_3],{\mathrm{a}\mathrm{d}}_{X_2}]\\ & =\dots =[\cdots [{\mathrm{a}\mathrm{d}}_{X_n},{\mathrm{a}\mathrm{d}}_{X_{n-1}}],\cdots {\mathrm{a}\mathrm{d}}_{X_2}].\end{array}$

Якщо $\mathrm{a}\mathrm{d}𝔤$ є нільпотентною, останній вираз рівний 0 для достатньо великих n, і відповідно це ж справедливо і для першого виразу. Але звідси отримується (1), тож алгебра $𝔤$ є нільпотентною.

Приклади

• Нехай $V$ є скінченновимірним векторним простором над полем $K$ і $F=\{V_i\}$ — прапор векторних підпросторів. Підалгебра $𝔫(F)=\{x\in 𝔤𝔩(V)|x{V}_i\subset V_{i-1},\mathrm{\forall }{V}_i\}$ алгебри ${\mathrm{g}\mathrm{l}}_k$ є нільпотентною алгеброю Лі. Якщо на просторі $V$ ввести базис, що узгоджується з $F$ то елементи алгебри $𝔫(F)$ визначаються верхніми трикутними матрицями з нулями на головній діагоналі. Якщо прапор є повним то відповідною алгеброю буде алгебра всіх верхніх трикутних матриць над полем $K$ розмірності n, що позначається $𝔫(n,K).$ Довільна скінченновимірна нільпотентна алгебра Лі є ізоморфною підалгебрі $𝔫(n,K)$ для деякого n.
• $𝔫(3,K)$ з точністю до ізоморфізмів є єдиною неабелевою нільпотентною алгеброю Лі розмірності 3.
• Якщо алгебра Лі $𝔤$ має автоморфізм простого періоду без нерухомих точок за винятком Шаблон:Math, тоді $𝔤$ є нільпотентною.
• Алгебра Гейзенберга є нільпотентною.

Властивості

• Кожна нільпотентна алгебра є розв'язною. Ця властивість є корисною для доведення розв'язності оскільки перевірка нільпотентності зазвичай є простішою. Обернене твердження загалом не є правильним. Наприклад алгебра $𝔤𝔩(k,ℝ)$ (Шаблон:Math), що складається з верхніх трикутних матриць є розв'язною але не нільпотентною.
• Якщо алгебра Лі $𝔤$ є нільпотентною то її підалгебри, гомоморфні образи, факторалгебри, центральні розширення і скінченні прямі суми є нільпотентними.
• Якщо факторалгебра $𝔤/Z(𝔤)$, де $Z(𝔤)$ є центром $𝔤$, є нільпотентною, то нільпотентною є і алгебра $𝔤$.
• Теорема Енгеля: Алгебра Лі $𝔤$ є нільпотентною тоді і тільки тоді коли для всі елементи алгебри $𝔤$ є ad-нільпотентними. Більш загально для довільного скінченновимірного представлення $\rho$ нільпотентної алгебри Лі $𝔤$ для якого $\rho (X)$ є нільпотентним для всіх $X\in 𝔤$ існує такий повний прапор, що $\rho (𝔤)\subset 𝔫(F).$
• Узагальненням попередньої властивості є теорема Цасенгауза, згідно якої для довільного скінченновимірного представлення $\rho$ у векторному просторі над алгебраїчно замкнутим полем нільпотентної алгебри Лі $𝔤$ простір $V$ на якому визначене представлення розкладається на пряму суму підпросторів обмеження $\rho$ на кожному з яких є сумою скалярного і нільпотентного лінійних операторів.
• Форма Кіллінга нільпотентної алгебри Лі рівна Шаблон:Math. Більш загально для довільної скінченновимірної алгебри Лі її нільпотентний ідеал є ортогональним до всієї алгебри відносно форми Кіллінга.
• Нільпотентна алгебра Лі має зовнішні автоморфізми, тобто автоморфізми які не є образами відображення Ad.
• Для скінченновимірної розв'язної алгебри Лі $𝔤$ над полем характеристики 0 $[𝔤,𝔤]$ є нільпотентною алгеброю.
• Для довільної нільпотентної алгебри Лі розмірності більшої 1 корозмірність її комутатора $\mathrm{codim}[𝔤,𝔤]⩾2.$ Зокрема якщо $\dim 𝔤⩽2,$ то $𝔤$ є абелевою.
• В довільній скінченновимірній алгебрі Лі $𝔤$ існує найбільший нільпотентний ідеал, що називається нільрадикалом. У полі характеристики 0 нільрадикал складається з елементів $X\in 𝔤$ для яких ${\mathrm{ad}}_X$ є нільпотентним лінійним перетворенням.
• Іншим важливим нільпотентним ідеалом є нільпотентний радикал, що за означенням рівний перетину ядер скінченновимірних незвідних представлень алгебри $𝔤$. Якщо $𝔯$ — радикал алгебри $𝔤$ (тобто максимальний розв'язний ідеал) то нільпотентний радикал рівний $𝔫=[𝔤,𝔯]=[𝔤,𝔤]\cap 𝔯.$Факторалгебра $𝔤/𝔫$ є редуктивною алгеброю Лі і $𝔫$ є мінімальним із ідеалів для яких виконується ця умова.
• Якщо $V$ — скінченновимірний векторний простір над полем характеристики 0 то довільна нільпотентна підалгебра Лі $𝔤\subset 𝔤𝔩(V)$ записується як $𝔤=𝔞+𝔫$, де $𝔞,𝔫$ — ідеали, що складаються відповідно з напівпростих і нільпотентних елементів з $𝔤$.

Див. також

• Нільпотентна матриця

• Розв'язна алгебра Лі

Література

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book