Редуктивна алгебра Лі

В математиці, алгебра Лі називається редуктивною, якщо її приєднане представлення є цілком звідним. Еквівалентною умовою є те, що алгебра Лі є прямою сумою напівпростої і абелевої алгебри Лі: $𝔤=𝔰\oplus 𝔞;$ інші еквівалентні умови подані нижче.

Означення

Алгебра Лі $𝔤$ над полем характеристики 0 називається редуктивною, якщо виконуються еквівалентні умови:

1. Приєднане представлення алгебри $𝔤$ є прямою сумою незвідних представлень.
2. $𝔤$ допускає точне, цілком звідне, скінченновимірне лінійне представлення.
3. Радикал алгебри Лі $𝔤$ рівний її центру: $𝔯(𝔤)=𝔷(𝔤).$

   Для загальної алгебри Лі її радикал містить центр, але може не бути рівним йому.

4. $𝔤$ є прямою сумою напівпростого ідеалу ${𝔰}_0$ і її центру $𝔷(𝔤):$ $𝔤={𝔰}_0\oplus 𝔷(𝔤).$
5. $𝔤$ є прямою сумою напівпростої алгебри Лі $𝔰$ і абелевої алгебри Лі $𝔞$: $𝔤=𝔰\oplus 𝔞.$
6. $𝔤$ є прямою сумою простих ідеалів: $𝔤=\sum {𝔤}_i.$

Приклади

• Одним із найпростіших і найважливіших прикладів є алгебра Лі ${𝔤𝔩}_n$ матриць розмірності $n\times n$ зі звичайним комутатором матриць. Вона є редуктивною, оскільки є сумою скалярних матриць і матриць, слід яких рівний нулю.
• За означенням будь-яка напівпроста алгебра Лі і абелева алгебра Лі є редуктивними.
• Над полем дійсних чисел, компактні алгебри Лі є редуктивними.

Властивості

• Властивість редуктивності зберігається як при розширенні, так і при звуженні поля, над яким визначена алгебра Лі.
• Для алгебрично замкнутого поля редуктивна алгебра Лі є ізоморфною алгебрі Лі деякої редуктивної алгебричної групи.
• Перетином редуктивних алгебр Лі і розв'язних алгебр Лі є абелеві алгебри Лі.

Див. також

• Розв'язна алгебра Лі

Посилання

• Lie algebra, reductive, A.L. Onishchik, in Encyclopaedia of Mathematics, ISBN 1-4020-0609-8, SpringerLink