Нерівність Мінковського

Нері́вність Мінко́вського — це нерівність трикутника для векторного простору функцій з інтегрованим $p$-им ступенем.

Формулювання

Нехай $(X,ℱ,\mu )$ — метричний простір, і функції $f,g\in L^p(X,ℱ,\mu )$, тобто $\underset{X}{\int }|f{|}^{p}d\mu <\mathrm{\infty },\underset{X}{\int }|g{|}^{p}d\mu <\mathrm{\infty }$, де $p\ge 1$, і інтеграл розумієтся як інтеграл Лебега.

Тоді $(f+g)\in L^p(X,ℱ,\mu )$, а також:

${(\underset{X}{\int }|f(x)+g(x){|}^p\mu (dx))}^{1/p}\le {(\underset{X}{\int }|f(x){|}^p\mu (dx))}^{1/p}+{(\underset{X}{\int }|g(x){|}^p\mu (dx))}^{1/p}$.

Зауваження

Нерівність Мінковського показує, що в лінійному просторі $L^p(X,ℱ,\mu )$ можна ввести норму:

$\Vert f{\Vert }_p={(\underset{x}{\int }|f(x){|}^p\mu (dx))}^{1/p}$,

яка перетворює його на нормований, а також і метричний простір.

Евклідів простір

Розглянемо Евклідів простір $E={ℝ}^n$ або ${ℂ}^n.$ $L^p$-норма в цьому просторі: $\Vert x{\Vert }_p={(\sum _{i=1}^n|x_i{|}^p)}^{1/p},x=(x_1,\dots ,x_n{)}^{\mathrm{\top }}$, і тоді

${(\sum _{i=1}^n|x_i+y_i{|}^p)}^{1/p}\le {(\sum _{i=1}^n|x_i{|}^p)}^{1/p}+{(\sum _{i=1}^n|y_i{|}^p)}^{1/p},\mathrm{\forall }x,y\in E$.

Простір l^p

Хай $X=\mathbb{N},ℱ=2^{\mathbb{N}},m$ — скінченна міра на $\mathbb{N}$. Тоді множина всіх послідовностей $\{x_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$, таких що

$\Vert x{\Vert }_p=(\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|x_n{|}^p{)}^{1/p}<\mathrm{\infty }$,

називается $l^p$.

Нерівність Мінковського для цього простору має вигляд:

${(\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|x_n+y_n{|}^p)}^{1/p}\le {(\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|x_n{|}^p)}^{1/p}+{(\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|y_n{|}^p)}^{1/p},\mathrm{\forall }x,y\in l^p$.

Імовірнісний простір

Хай $(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathbb{P})$ — імовірнісний простір. Тоді $L^p(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathbb{P})$ складається з випадкових величин з кінцевим $p$-м моментом: $𝔼[|X{|}^p]<\mathrm{\infty }$, де символ $𝔼$ позначає математичне сподівання.

Нерівність Мінковського в цьому випадку має вигляд:

${(𝔼|X+Y{|}^p)}^{1/p}\le {(𝔼|X{|}^p)}^{1/p}+{(𝔼|Y{|}^p)}^{1/p}.$

Див. також

• Простір Lp
• Герман Мінковський
• Нерівність Гельдера
• Відстань Мінковського
• Простір Мінковського
• Метрика Мінковського
• Нерівність Малера

Джерела

• Шаблон:Беккенбах.Беллман