Нерівність Малера

У математиці нерівність Малера, названа на честь Курта Малера, стверджує, що середнє геометричне почленної суми двох скінченних послідовностей додатних чисел більше або дорівнює сумі їхніх двох окремих середніх геометричних:

$\prod _{k=1}^n(x_k+y_k{)}^{1/n}\ge \prod _{k=1}^n{x}_k^{1/n}+\prod _{k=1}^n{y}_k^{1/n}$

коли $x_k,y_k>0$ для всіх $k$.

Доведення

З нерівності середніх арифметичних і геометричних маємо:

$\prod _{k=1}^n{\left(\frac{x_k}{x_k+y_k}\right)}^{1/n}\le \frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\frac{x_k}{x_k+y_k},$

і

$\prod _{k=1}^n{\left(\frac{y_k}{x_k+y_k}\right)}^{1/n}\le \frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\frac{y_k}{x_k+y_k}.$

Отже,

$\prod _{k=1}^n{\left(\frac{x_k}{x_k+y_k}\right)}^{1/n}+\prod _{k=1}^n{\left(\frac{y_k}{x_k+y_k}\right)}^{1/n}\le \frac{1}{n}n=1.$

Після позбавлення від знаменників маємо бажаний результат.

Див. також

• Нерівність Мінковського

Примітки

• Нерівність Мінковського в Енциклопедії математики