Метрика Мінковського

Метрика Мінковського — метрика, яка узагальнює мангеттенську метрику на довільний евклідів простір.

Визначення

Відстань Мінковського порядку p між двома точками $P=(x_1,x_2,\dots ,x_n)\text{ та }Q=(y_1,y_2,\dots ,y_n)\in {ℝ}^n$

визначається наступним чином:

${(\sum _{i=1}^n|x_i-y_i{|}^p)}^{1/p}.$

Відстань Мінковського при p≥1 є метрикою як результат нерівності Мінковського.

Метрика Мінковського зазвичай використовується із порядком p, який дорівнює 1 або 2. Коли p = 2 — це евклідова відстань, коли p = 1 це мангетенська відстань. Коли p прямує до нескінченності — це відстань Чебишова:

$\underset{p\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(\sum _{i=1}^n|x_i-y_i{|}^p)}^{\frac{1}{p}}={\max }_{i=1}^n|x_i-y_i|.$

Схожим чином, коли p прямує до мінус нескінченності, маємо

$\underset{p\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{(\sum _{i=1}^n|x_i-y_i{|}^p)}^{\frac{1}{p}}={\min }_{i=1}^n|x_i-y_i|.$

Наступне зображення показує одиничні кола на площині у метриках із різними значеннями порядку p:

Файл:Minkowski circle.png

Див. також

• Евклідова відстань
• Відстань Махаланобіса
• Нерівність Мінковського
• Простір Мінковського
• Список об'єктів, названих на честь Германа Мінковського

Джерела

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. (1974). Теоретическая физика. т. ІІ. Теория поля. Москва: Наука.

Посилання

• Шаблон:Cite web