Нерівність Гельдера

Нерівність Гельдера в функціональному аналізі і суміжних дисциплінах — це фундаментальна властивість просторів $L^p$.

Формулювання

Нехай $(X,ℱ,\mu )$ — простір з мірою, $L^p\equiv L^p(X,ℱ,\mu )$ — простір функцій вигляду $f:X\to ℝ$ із скінченним інтегровним $p$-им степенем.

Тоді в останньому визначена норма

$\Vert f{\Vert }_p={(\underset{X}{\int }|f(x){|}^p\mu (dx))}^{1/p},p\ge 1.$

Нехай

$f\in L^p,g\in L^q,p,q\ge 1,\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1.$

Тоді

$f\cdot g\in L^1,\Vert f\cdot g{\Vert }_1\le \Vert f{\Vert }_p\cdot \Vert g{\Vert }_q$

Доведення

Лема

Нехай $\varphi :[0,\mathrm{\infty })\to [0;\mathrm{\infty })$ — неперервна строго зростаюча функція. Тоді існує обернена функція ${\varphi }^{-1}$ і тоді для всіх додатних $a$ і $b:$

$ab\le \underset{0}{\overset{a}{\int }}\varphi (x)dx+\underset{0}{\overset{b}{\int }}{\varphi }^{-1}(y)dy.$

Нерівність переходить у рівність тоді і лише тоді якщо $b=\varphi (a).$ Для розуміння доведення достатньо просто намалювати з довільною $\varphi .$

Власне доведення

Доведення нерівності Гельдера покладається на такий факт:

для всіх $p\in (1,\mathrm{\infty })$ і для будь-яких додатних сталих $a$ і $b,$

де $\frac{1}{p}+\frac{1}{p^{\prime }}=1,$ тобто $p^{\text{'}}=\frac{p}{p-1}.$

Для $p=p^{\text{'}}=2$ нерівність очевидна: оскільки $(a-b{)}^2\ge 0$ і звідси $a^2-2ab+b^2\ge 0,$ з цього $ab\le \frac{a^2}{2}+\frac{b^2}{2}.$

Доведемо нерівність у загальному випадку. Використаємо лему наведену вище. Візьмімо $\varphi (x)=x^{p-1}.$ Оскільки $p>1$ маємо $\varphi (0)=0$ і $\varphi$ є неперервною і строго висхідною функцією. Отже, ${\varphi }^{-1}(y)=y^{\frac{1}{p-1}}$ і з леми ми отримуємо

$ab\le \underset{0}{\overset{a}{\int }}{x}^{p-1}dx+\underset{0}{\overset{b}{\int }}{y}^{\frac{1}{p-1}}dy=\frac{a^p}{p}+\frac{b^{p^{\prime }}}{p^{\prime }}.$

Видно, що нерівність переходить у рівність тоді і лише тоді коли $b=a^{p-1},$ що тотожно до $b^{p^{\prime }}=a^{p^{\prime }(p-1)}=a^p.$

Покладемо $a=\frac{|x_i|}{d_p(x,0)}$ і $b=\frac{|y_i|}{d_{p^{\prime }}(y,0)}.$ Завдяки (1) ми знаходимо

$\frac{|x_i{y}_i|}{d_p(x,0)d_{p^{\prime }}(y,0)}\le \frac{|x_i{|}^p}{p[d_p(x,0){]}^p}+\frac{|y_i{|}^{p^{\prime }}}{p^{\prime }[d_{p^{\prime }}(y,0){]}^{p^{\prime }}},$

і звідси, беручи суму по всіх $i$ від 1 до $n,$

$\frac{{\mathrm{\Sigma }}_{i=1}^n|x_i{y}_i|}{d_p(x,0)d_{p^{\prime }}(y,0)}\le \frac{{\mathrm{\Sigma }}_{i=1}^n|x_i{|}^p}{p[d_p(x,0){]}^p}+\frac{{\mathrm{\Sigma }}_{i=1}^n|y_i{|}^{p^{\prime }}}{p^{\prime }[d_{p^{\prime }}(y,0){]}^{p^{\prime }}}=\frac{1}{p}+\frac{1}{p^{\prime }}=1.$

Отже, ${\mathrm{\Sigma }}_{i=1}^n|x_i{y}_i|\le d_p(x,0)d_{p^{\prime }}(y,0),$ що і потрібно було довести.

Часткові випадки

Нерівність Коші — Буняковского

Поклавши $p=q=2$, отримуємо Нерівність Коші—Буняковского для простору $L^2$.

Евклідів простір

Розглянемо Евклідів простір $E={ℝ}^n$ або ${ℂ}^n$. $L^p$-норма у цьому просторі має вигляд:

$\Vert x{\Vert }_p={(\sum _{i=1}^n|x_i{|}^p)}^{1/p},x=(x_1,\dots ,x_n{)}^{\mathrm{\top }}$,

тоді: $\sum _{i=1}^n|x_i\cdot y_i|\le {(\sum _{i=1}^n|x_i{|}^p)}^{1/p}\cdot {(\sum _{i=1}^n|y_i{|}^q)}^{1/q},\mathrm{\forall }x,y\in E$.

Простір l^p

Нехай $X=\mathbb{N},ℱ=2^{\mathbb{N}},m$ — скінченна міра на $\mathbb{N}$. Тоді множина всіх послідовностей $\{x_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$, таких що

$\Vert x{\Vert }_p=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}|x_n{|}^p<\mathrm{\infty }$,

називається $l^p$. Нерівність Гельдера для цього простору має вигляд:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|x_n\cdot y_n|\le {(\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|x_n{|}^p)}^{1/p}\cdot {(\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|y_n{|}^q)}^{1/q},\mathrm{\forall }x\in l^p,y\in l^q$.

Ймовірнісний простір

Нехай $(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathbb{P})$ — ймовірнісний простір. Тоді $L^p(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathbb{P})$ складається з випадкових величин із скінченним $p$-м моментом: $𝔼[|X{|}^p]<\mathrm{\infty }$, де символ $𝔼$ позначає математичне сподівання.

Нерівність Гельдера в цьому випадку має вигляд:

$𝔼|XY|\le {(𝔼|X{|}^p)}^{1/p}\cdot {(𝔼|Y{|}^q)}^{1/q},\mathrm{\forall }X\in L^p,Y\in L^q.$

Див. також

• простір Lp
• Гельдер, Отто
• Нерівність Юнга
• Нерівність Мінковського

Джерела

• Шаблон:Беккенбах.Беллман