Множина Сміта — Вольтерри — Кантора

Після видалення всіх чорних інтервалів білі точки утворюють ніде не щільну множину міри 1/2.

Множина Сміта — Вольтерри — Кантора (СВК, товста множина Кантора, $\epsilon$-множина Кантора) — приклад множини точок на дійсній прямій $ℝ$, яка є ніде не щільною (зокрема не містить інтервалів) але має додатну міру. Як топологічний простір із успадкованою топологією із стандартної топології одиничного відрізка є гомеоморною класичній множині Кантора. Названо на честь математиків Генрі Сміта, Віто Вольтерри та Георга Кантора.

Побудова

Аналогічно побудові множини Кантора, множина Сміта — Вольтерри — Кантора будується шляхом видалення певних інтервалів з одиничного інтервалу $[0,1]$.

Процес починається з видалення відкритого інтервалу довжини $\frac{1}{4}$ із середини $[0,1]$, після чого одержується множина:

$[0,1]\setminus ]\frac{3}{8},\frac{5}{8}[=[0,\frac{3}{8}]\cup [\frac{5}{8},1].$.

Під час наступних кроків видаляються підінтервали довжини $(\frac{1}{4}{)}^n$ із середини кожного із $2^{n-1}$ інтервалів, що залишилися після попереднього кроку. Зокрема на другому кроці видаляються інтервали $(\frac{5}{32},\frac{7}{32})$ та $(\frac{25}{32},\frac{27}{32})$, залишаючи:

$([0,\frac{3}{8}]\setminus ]\frac{5}{32},\frac{7}{32}[)\cup ([\frac{5}{8},1]\setminus ]\frac{25}{32},\frac{27}{32}[)=[0,\frac{5}{32}]\cup [\frac{7}{32},\frac{3}{8}]\cup [\frac{5}{8},\frac{25}{32}]\cup [\frac{27}{32},1].$

Формально якщо позначити $S_0=[0,1]$ і множину після n-1 кроків як:

$S_{n-1}=\bigcup _{k=1}^{2^{n-1}}[a_k,b_k]$

де:

$0=a_1<b_1<a_2<b_2<\dots <a_{2^{n-1}}<b_{2^{n-1}}=1,$

то після n-го кроку одержується множина:

$S_n:=\bigcup _{k=1}^{2^{n-1}}([a_k,\frac{a_k+b_k}{2}-\frac{1}{2^{2n+1}}]\cup [\frac{a_k+b_k}{2}+\frac{1}{2^{2n+1}},b_k])$.

Результати перших п'яти ітерацій цього процесу зображені на малюнку:

Елементами множини Сміта — Вольтерри — Кантора є точки, що ніколи не вилучаються під час цього процесу, тобто належать усім $S_n.$ Іншими словами множина є рівною перетину $\bigcap _{n\in \mathbb{N}}{S}_n$.

Властивості

Множина Сміта — Вольтерри — Кантора є перетином замкнутих множин $S_n$, а тому і сама є замкнутою множиною. Окрім того вона не містить інтервалів, а тому має порожню внутрішність, тобто є ніде не щільною множиною. Справді кожна множина $S_n$ є диз'юнктним об'єднанням $2^n$ замкнутих інтервалів довжина кожного із яких є меншою $\frac{1}{2^n}$. Відповідно для довільного $\epsilon >0$ для тих n для яких $\frac{1}{2^n}<\epsilon$ множина $S_n$ не може містити жодного відкритого інтервалу довжини $\epsilon .$ Оскільки $\epsilon$ є довільним, а множина Сміта — Вольтерри — Кантора є підмножиною будь-якої $S_n$, то вона не може містити відкритого інтервалу будь-якої довжини.

Кожна наступна ітерація в побудові множини видаляє пропорційно менше з інтервалів, що залишилися. Цей процес відрізняється від побудови множини Кантора , де пропорція частини, що видаляється, на кожному інтервалі залишається постійною. Тому множина Сміта — Вольтерри — Кантора має додатну міру, тоді як множина Кантора має міру нуль.

Детальніше, протягом процесу побудови множини з відрізка $[0,1]$ на n-му кроці видаляються $2^{n-1}$ інтервалів, довжина кожного із яких є рівною $(\frac{1}{4}{)}^n.$ Відповідно видаляються відрізки сумарною довжиною $(\frac{1}{2}{)}^{n+1}.$ Загалом множина усіх точок, що видаляються на якомусь кроці процесу є диз'юнктним об'єднанням зліченної кількості інтервалів. Відповідно вона, а також множина Сміта — Вольтерри — Кантора, яка є її доповненням є борелівськими множинами і для них існує міра Лебега. Зокрема із порахованої вище міри множини, що видаляється на кожному кроці і зліченної адитивності міри, загальна міра множини, що видаляється є рівною:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{n+1}}=\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots =\frac{1}{2}$.

Відповідно і для її доповнення, тобто множини Сміта — Вольтерри — Кантора міра Лебега є рівною $\frac{1}{2}$.

Також множина Сміта — Вольтерри — Кантора є прикладом компактної множини, для якої міра Жордана є невизначеною. Внутрішня міра Жордана є рівною 0, адже множина не містить інтервалів. Зовнішня є рівною $\frac{1}{2}$ оскільки усі $S_n$ є покриттями скінченними кількостями інтервалів, сумарна довжина інтервалів для різних $S_n$ прямує зверху до $\frac{1}{2}$ і усі покриття множини Сміта — Вольтерри — Кантора скінченною кількістю замкнутих інтервалів містять зрештою якусь із $S_n$.

Відповідно характеристична функція множини Сміта — Вольтерри — Кантора є прикладом обмеженої функції, що не інтегрується за Ріманом на відрізку $(0,1)$ але для якої існує інтеграл Лебега (рівний $\frac{1}{2}$).

Узагальнення

У загальному випадку можна видалити $r_b$ з кожного підінтервалу на $n$-му кроці алгоритму. Одержана множина буде мати додатну міру тоді і тільки тоді, коли сума послідовності менша за міру вихідного інтервалу. Якщо припустити, що на кожній $n$-ій ітерації видаляється середина інтервалу довжини $(a{)}^n$, де $0\le a\le \frac{1}{3}$ (для $a>\frac{1}{3}$ побудова є неможливою), міра Лебега множини точок, що не видаляються є рівною:

$1-\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{2}^n{a}^{n+1}=1-a\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(2a{)}^n=1-a\frac{1}{1-2a}=\frac{1-3a}{1-2a}$.

Таким чином, множина буде мати додатну міру якщо $a<\frac{1}{3}.$

Прямий добуток множин Сміта — Вольтерри — Кантора може бути використаний для побудови цілком незв'язних множин нульової міри у просторах більш високих розмірностей. Застосовуючи теорему Данжуа — Ріса до двовимірних множин цього типу можна знайти жорданову криву, що має додатну площу.

Див. також

• Міра Жордана
• Міра Лебега
• Множина Кантора

Джерела

• Bressoud, David Marius (2003). Wrestling with the Fundamental Theorem of Calculus: Volterra's function Шаблон:Webarchive
• Smith, Henry J.S. (1874). "On the integration of discontinuous functions Шаблон:Webarchive". Proceedings of the London Mathematical Society. First series. 6: 140–153