Нецентрований хі-квадрат розподіл

Шаблон:Розподіл ймовірностей У теорії ймовірностей і статистиці нецентрований розподіл хі-квадрат (нецентрований ${\chi }^2$ розподіл) — це нецентроване узагальнення розподілу хі-квадрат. Він часто зустрічається при аналізі потужності статистичних тестів, в яких розподіл параметра при нульовій гіпотезі є (можливо, асимптотично) хі-квадрат розподілом. Важливими прикладами таких тестів є тести на відношення правдоподібності.

Передумови

Нехай $(X_1,X_2,\dots ,X_i,\dots ,X_k)$ - k незалежних, нормально розподілених випадкових величин із середніми ${\mu }_i$ та одиничною дисперсією. Тоді випадкова величина

$\sum _{i=1}^k{X}_i^2$

розподілена за нецентрованого хі-квадрат розподілу. У цього розподілу два параметри: $k$ який визначає кількість ступенів свободи (тобто кількість $X_i$) і $\lambda$ що пов'язане із середнім значенням випадкових величин $X_i$ формулою:

$\lambda =\sum _{i=1}^k{\mu }_i^2.$

іноді $\lambda$ називають параметром нецентрованості. Зверніть увагу, в деяких джерелах $\lambda$визначають інакше, наприклад, половиною вищезазначеної суми чи квадратним коренем з неї.

Цей розподіл виникає у багатовимірній статистиці як похідна від багатовимірного нормального розподілу. Тоді як центрований хі-квадрат розподіл - це квадрат норми випадкового вектора з розподілом $N(0_k,I_k)$ (тобто квадрат відстані від початку координат до випадкової точки-реалізації випадкової величини, що має такий розподіл), нецентрований ${\chi }^2$ - це квадрат норми випадкового вектора з розподілом $N(\mu ,I_k)$. Тут $0_k$ - нульовий вектор з k елементів, $\mu =({\mu }_1,\dots ,{\mu }_k)$ і $I_k$ - k вимірна одинична матриця.

Означення

Функція густини ймовірності (pdf) задається як

$f_X(x;k,\lambda )=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{e^{-\lambda /2}(\lambda /2{)}^i}{i!}{f}_{Y_{k+2i}}(x),$

де $Y_q$ розподілена за законом хі-квадрат з $q$ ступенями свободи.

З цього запису випливає, що нецентрований хі-квадрат розподіл є зваженою Пуассоном сумішшю центральних хі-квадрат розподілів. Нехай випадкова величина J має розподіл Пуассона із середнім значенням $\lambda /2$, та умовний розподіл Z, заданий J = i - хі-квадрат із k + 2 i ступеня свободи. Тоді безумовний розподіл Z є нецентрованим хі-квадрат розподілом з k ступенями свободи та параметром нецентрованості $\lambda$ .

Крім того, щільність можна подати формулою

$f_X(x;k,\lambda )=\frac{1}{2}{e}^{-(x+\lambda )/2}{\left(\frac{x}{\lambda }\right)}^{k/4-1/2}{I}_{k/2-1}(\sqrt{\lambda x})$

де $I_{\nu }(y)$ - модифікована функція Бесселя першого роду:

$I_{\nu }(y)=(y/2{)}^{\nu }\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(y^2/4{)}^j}{j!\mathrm{\Gamma }(\nu +j+1)}.$

Використовуючи зв'язок функції Бесселя з гіпергеометричними функціями, щільність також можна записати як:

$f_X(x;k,\lambda )={{\mathrm{e}}^{-\lambda /2}}_0{F}_1(;k/2;\lambda x/4)\frac{1}{2^{k/2}\mathrm{\Gamma }(k/2)}{\mathrm{e}}^{-x/2}{x}^{k/2-1}.$

У Зіґеля (1979) описано випадок k = 0 (нуль ступенів свободи) докладно, у цьому випадку розподіл має дискретну складову в нулі.

Властивості

Твірна функція

Твірна функція моментів, задається формулою

$M(t;k,\lambda )=\frac{\exp \left(\frac{\lambda t}{1-2t}\right)}{(1-2t{)}^{k/2}}.$

Моменти

Перші кілька початкових моментів:

$\mu {\text{'}}_1=k+\lambda$

$\mu {\text{'}}_2=(k+\lambda {)}^2+2(k+2\lambda )$

$\mu {\text{'}}_3=(k+\lambda {)}^3+6(k+\lambda )(k+2\lambda )+8(k+3\lambda )$

$\mu {\text{'}}_4=(k+\lambda {)}^4+12(k+\lambda {)}^2(k+2\lambda )+4(11k^2+44k\lambda +36{\lambda }^2)+48(k+4\lambda )$

Перші кілька центральних моментів:

${\mu }_2=2(k+2\lambda )$

${\mu }_3=8(k+3\lambda )$

${\mu }_4=12(k+2\lambda {)}^2+48(k+4\lambda )$

N-а кумулянта є

$K_n=2^{n-1}(n-1)!(k+n\lambda ).$

Отже

$\mu {\text{'}}_n=2^{n-1}(n-1)!(k+n\lambda )+\sum _{j=1}^{n-1}\frac{(n-1)!2^{j-1}}{(n-j)!}(k+j\lambda )\mu {\text{'}}_{n-j}.$

Функція розподілу

Знову використовуючи співвідношення між центрованим та нецентрованим розподілами хі-квадрат, функцію розподілу (cdf) можна записати як

$P(x;k,\lambda )=e^{-\lambda /2}\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\lambda /2{)}^j}{j!}Q(x;k+2j)$

де $Q(x;k)$ - функція розподілу центрованого розподілу хі-квадрат із k ступенями свободи, що записується як

$Q(x;k)=\frac{\gamma (k/2,x/2)}{\mathrm{\Gamma }(k/2)}$

і де $\gamma (k,z)$ - нижня неповна гамма-функція.

Можна також скористатися Q-функцією Маркума $Q_M(a,b)$ для запису функції розподілу

$P(x;k,\lambda )=1-Q_{\frac{k}{2}}(\sqrt{\lambda },\sqrt{x})$

Наближення (у тому числі для квантилів)

Абдель-Аті виводять (як "перше наближення") нецентроване наближення Вільсона-Гілферті:

${\left(\frac{\chi {\text{'}}^2}{k+\lambda }\right)}^{\frac{1}{3}}$ має приблизно нормальний розподіл, $\sim 𝒩(1-\frac{2}{9f},\frac{2}{9f}),$ тобто

$P(x;k,\lambda )\approx \mathrm{\Phi }\left\{\frac{{\left(\frac{x}{k+\lambda }\right)}^{1/3}-(1-\frac{2}{9f})}{\sqrt{\frac{2}{9f}}}\right\},\text{where }f:=\frac{(k+\lambda {)}^2}{k+2\lambda }=k+\frac{{\lambda }^2}{k+2\lambda },$

що є досить точним і добре адаптовним до нецентрованості. Крім того, $f=f(k,\lambda )$ стає $f=k$ при $\lambda =0$, (центрований) хі-квадрат розподіл.

Санкаран описує ряд аналітичних виразів наближень функції розподілу. В своїх ранніх роботах він отримав та довів наступне наближення:

$P(x;k,\lambda )\approx \mathrm{\Phi }\left\{\frac{(\frac{x}{k+\lambda }{)}^h-(1+hp(h-1-0.5(2-h)mp))}{h\sqrt{2p}(1+0.5mp)}\right\}$

де

$\mathrm{\Phi }\{\cdot \}$ позначає функцію розподілу стандартного нормального розподілу;

$h=1-\frac{2}{3}\frac{(k+\lambda )(k+3\lambda )}{(k+2\lambda {)}^2};$

$p=\frac{k+2\lambda }{(k+\lambda {)}^2};$

$m=(h-1)(1-3h).$

Це та інші наближення описані в його пізніших підручниках.

Для даної ймовірності ці формули легко обернути для обчислення досить точних наближеннь $x$ відповідних квантилів.

Виведення функції щільности

Виведення функції щільності ймовірності найлегше зробити, виконавши наступні кроки:

1. Оскільки $X_1,\dots ,X_k$ мають одиничні дисперсії, їх спільний розподіл сферично симетричний, аж до зсуву місця.
2. Тоді сферична симетрія означає, що розподіл $X=X_1^2+\cdots +X_k^2$ залежить від середніх значень лише через квадрат довжини, $\lambda ={\mu }_1^2+\cdots +{\mu }_k^2$ . Тому, без обмеження загальности можна взяти ${\mu }_1=\sqrt{\lambda }$ і ${\mu }_2=\cdots ={\mu }_k=0$ .
3. Тепер обчислимо щільність $X=X_1^2$ (тобто k = 1 випадок). Просте перетворення випадкових величин дає

$\begin{array}{cc}{f}_X(x,1,\lambda )& =\frac{1}{2\sqrt{x}}(\varphi (\sqrt{x}-\sqrt{\lambda })+\varphi (\sqrt{x}+\sqrt{\lambda }))\\ & =\frac{1}{\sqrt{2\pi x}}{e}^{-(x+\lambda )/2}\cosh (\sqrt{\lambda x}),\end{array}$

де $\varphi (\cdot )$ - функція щільности стандартної нормальної випадкової величини.

1. Розкладемо гіперболічну функцію в ряд Тейлора. Це дає зважену за Пуассоном суміш представлення щільності, поки ще для k = 1. Індекси на випадкових величин в хі-квадрат розподілених випадкових величинах в наведеному вище ряді в цьому випадку є 1 + 2 i.
2. Нарешті, для загального випадку. Припустимо без обмеження загальності $X_2,\dots ,X_k$ є стандартні нормальні, отже $X_2^2+\cdots +X_k^2$ має центрований хі-квадрат розподіл з ( k − 1) ступенями свободи, незалежна від $X_1^2$. Використовуючи запис $X_1^2$ у вигляді Пуасонівської суміші, і той факт, що сума хі-квадрат випадкових величин має також хі-квадрат, отримуємо результат. Індексами в ряді є (1 + 2 i ) + ( k − 1) = k + 2 i як і треба показати.

Пов’язані розподіли

• Якщо $V$ хі квадрат розподілена в.в.: $V\sim {\chi }_k^2$, тоді $V$ також нецетровано хі квадрат розподілена з нульовим параметром нецетральности: $V\sim {{\chi }^{\prime }}_k^2(0)$
• Лінійна комбінація незалежних нецентральних хі квадрат розподілених випадкових величин $\xi =\sum _i{\lambda }_i{Y}_i+c,Y_i\sim \chi {\text{'}}^2(m_i,{\delta }_i^2)$, має узагальнений хі квадрат розподіл.
• Якщо $V_1\sim {{\chi }^{\prime }}_{k_1}^2(\lambda )$ і $V_2\sim {{\chi }^{\prime }}_{k_2}^2(0)$ і $V_1$ незалежна від $V_2$, тоді нецентрально <i id="mwARo">F</i>-розподілена величину можна отримати як $\frac{V_1/k_1}{V_2/k_2}\sim F{\text{'}}_{k_1,k_2}(\lambda )$
• Як $J\sim \mathrm{P}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{n}\left(\frac{1}{2}\lambda \right)$, тоді ${\chi }_{k+2J}^2\sim {{\chi }^{\prime }}_k^2(\lambda )$
• Якщо $V\sim {{\chi }^{\prime }}_2^2(\lambda )$, тоді $\sqrt{V}$ - розподілена за розподілом Райса з параметром $\sqrt{\lambda }$ випадкова величина.
• Наближення нормальним розподілом: якщо $V\sim {{\chi }^{\prime }}_k^2(\lambda )$, тоді $\frac{V-(k+\lambda )}{\sqrt{2(k+2\lambda )}}\to N(0,1)$ за розподілом при $k\to \mathrm{\infty }$ чи $\lambda \to \mathrm{\infty }$.
• Якщо $V_1\sim {{\chi }^{\prime }}_{k_1}^2({\lambda }_1)$і $V_2\sim {{\chi }^{\prime }}_{k_2}^2({\lambda }_2)$, де $V_1,V_2$ - незалежні, тоді $W=(V_1+V_2)\sim {{\chi }^{\prime }}_k^2({\lambda }_1+{\lambda }_2)$, де $k=k_1+k_2$.
• Взагальному, для скінченної множини $V_i\sim {{\chi }^{\prime }}_{k_i}^2({\lambda }_i),i\in \{1..N\}$, сума цих нецентральних хі квадрат розподілених в.в. $Y=\sum _{i=1}^N{V}_i$ має розподіл $Y\sim {{\chi }^{\prime }}_{k_y}^2({\lambda }_y)$, де $k_y=\sum _{i=1}^N{k}_i,{\lambda }_y=\sum _{i=1}^N{\lambda }_i$. Це можна покажати використовуючи твірні функції моментів наступним чином: $M_Y(t)=M_{\sum _{i=1}^N{V}_i}(t)=\prod _{i=1}^N{M}_{V_i}(t)$ використовуючи незалежність $V_i$ випадкових величин. Далі просто підставляємо ТФМ нецентрального хі квадрат розподілу у вираз для добутку і зведенням до нової ТФМ. Або ж зважаючи на інтерпретацію у розділі Передумови як сума квадратів незалежних норомально розподілених в.в. з варіацією 1 і відповідними середніми значеннями.
• Комплексні нецентральні хі квадрат розподіли мають застосування у радіо зв'язку і системах радарів Шаблон:Джерело. Нехай $(z_1,\dots ,z_k)$ - незалежні скалярні комплексні випадкові величини з нецентральною колоавою симетрією, з середніми ${\mu }_i$ і одиничними варіаціями: $\mathrm{E}{|z_i-{\mu }_i|}^2=1$. Тоді дійснозначна випадкова величина $S=\sum _{i=1}^k{\left|z_i\right|}^2$ розподілена за комплексним нецентральним хі квадрат розподілом:

$f_S(S)={\left(\frac{S}{\lambda }\right)}^{(k-1)/2}{e}^{-(S+\lambda )}{I}_{k-1}(2\sqrt{S\lambda })$



де $\lambda =\sum _{i=1}^k{\left|{\mu }_i\right|}^2.$

Перетворення

Санкаран (1963) описує перетворення типу $z=[(X-b)/(k+\lambda ){]}^{1/2}$. Він аналізує розклад кумулянт $z$ до порядку $O((k+\lambda {)}^{-4})$ і доводить, що для деяких $b$ можна отримати прийнятні результати:

• при $b=(k-1)/2$ друга кумулянта $z$ асимптотично не залежить від $\lambda$,
• при $b=(k-1)/3$ третя кумулянта $z$ асимптотично не залежить від $\lambda$,
• при $b=(k-1)/4$ четверта кумулянта $z$ асимптотично не залежить від $\lambda$.

Крім того, більш просту трансформацію $z_1=(X-(k-1)/2{)}^{1/2}$ можна використовувати як дисперсійно-стабілізуюче перетворення, яке дає випадкову величину із середнім значенням $(\lambda +(k-1)/2{)}^{1/2}$ і дисперсією $O((k+\lambda {)}^{-2})$.

Використанню таких перетворень може завадити необхідність квадратного кореня з від’ємних чисел.

Різні хі та хі-квадрат розподіли

Name	Statistic
Розподіл хі-квадрат	$\sum _{i=1}^k{\left(\frac{X_i-{\mu }_i}{{\sigma }_i}\right)}^2$
Нецентрований хі-квадрат розподіл	$\sum _{i=1}^k{\left(\frac{X_i}{{\sigma }_i}\right)}^2$
Розподіл Хі	$\sqrt{\sum _{i=1}^k{\left(\frac{X_i-{\mu }_i}{{\sigma }_i}\right)}^2}$
Нецентрований хі розподіл	$\sqrt{\sum _{i=1}^k{\left(\frac{X_i}{{\sigma }_i}\right)}^2}$

Використання

Використання в довірчих інтервалах

Двосторонні нормальні довірчі інтервали в регресії можна обчислити на основі нецентрованого хі-квадратрозподілу. Використовуючи його можна обчислити статистичний інтервал, в межах якого з певним рівнем довіри потрапляє певна частина вибіркової сукупності.

Список літератури

• Абрамовіц, М. та Стегун, ІА (1972), Довідник з математичних функцій, Дувр. Розділ 26.4.25.
• Джонсон, Нью-Йорк, Коц, С., Балакрішнан, Н. (1995), Безперервні одноваріантні розподіли, том 2 (2-е видання), Wiley.Шаблон:ISBN
• Мюрхед, Р. (2005) Аспекти багатовимірної статистичної теорії (2-е видання). Вілі.Шаблон:ISBN
• Siegel, AF (1979), "Нецентральний розподіл хі-квадрат з нульовим ступенем свободи та тестування на однорідність", Biometrika, 66, 381 – 386
• Шаблон:Citation