Умовний розподіл

Умовний розподіл у теорії ймовірностей — це розподіл випадкової величини за умови, що інша випадкова величина набуває визначене значення.

Визначення

Передбачимо, що задано ймовірнісний простір $(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathbb{P})$.

Дискретні випадкові величини

Нехай $X:\mathrm{\Omega }\to {ℝ}^m$ і $Y:\mathrm{\Omega }\to {ℝ}^n$ — випадкові величини, такі, що випадковий вектор $(X,y{)}^{\mathrm{\top }}:\mathrm{\Omega }\to {ℝ}^{m+n}$ має дискретний розподіл, що задається функцією ймовірностей $p_{X,y}(x,y),x\in {ℝ}^m,y\in {ℝ}^n$. Нехай $y_0\in {ℝ}^n$ такий, що $\mathbb{P}(Y=y_0)>0$. Тоді функція

$p_{X\mid Y}(x\mid y_0)=\mathbb{P}(X=x\mid Y=y_0)=\frac{p_{X,y}(x,y_0)}{p_y(y_0)},x\in {ℝ}^m$,

де $p_Y$ - функція ймовірностей випадкової величини $Y$, називається умовною функцією ймовірностей випадкової величини $X$ за умови, що $Y=y_0$. Розподіл, що задається умовною функцією ймовірностей, називається умовним розподілом.

Абсолютно неперервні випадкові величини

Нехай $X:\mathrm{\Omega }\to {ℝ}^m$ и $Y:\mathrm{\Omega }\to {ℝ}^n$ - випадкові величини, такі що випадковий вектор $(X,Y{)}^{\mathrm{\top }}:\mathrm{\Omega }\to {ℝ}^{m+n}$ має абсолютно неперервний розподіл, який задається щільностю ймовірностей $f_{X,Y}(x,y),x\in {ℝ}^m,y\in {ℝ}^n$. Нехай $y_0\in {ℝ}^n$ таке, що $f_Y(y_0)>0$, де $f_Y$ - щільність випадкової величини $Y$. Тоді функція

$f_{X\mid Y}(x\mid y_0)=\frac{f_{X,Y}(x,y_0)}{f_Y(y_0)}$

називається умовною щільностю ймовірності випадкової величини $X$ за умови, що $Y=y_0$. Розподіл, який задається умовною функцією ймовірності, називається умовним розподілом.

Властивості умовних розподілів

• Умовні функції ймовірності і умовна щільність ймовірності є функціями ймовірності і щільністю ймовірності відповідно, тобто вони задовольняють всім необхідним умовам. Зокрема

• $p_{X\mid Y}(x\mid y_0)\ge 0,\mathrm{\forall }x\in {ℝ}^m,y_0\in {ℝ}^n$,
• $\sum _x{p}_{X\mid Y}(x\mid y_0)=1,\mathrm{\forall }{y}_0\in {ℝ}^n$,

і

• $f_{X\mid Y}(x\mid y_0)\ge 0$ майже усюди на ${ℝ}^{m+n}$,
• $\underset{{ℝ}^m}{\int }{f}_{X\mid Y}(x\mid y_0)dx=1,\mathrm{\forall }{y}_0\in {ℝ}^n$,

• Справедливі формули повної ймовірності:

• $p_X(x)=\sum _y{p}_{X\mid Y}(x\mid y)p_Y(y)$,
• $f_X(x)=\underset{{ℝ}^n}{\int }{f}_{X\mid Y}(x\mid y)f_Y(y)dy$.

• Якщо випадкові величини $X$ і $Y$ незалежні то умовний розподіл дорівнює безумовному:

$p_{X\mid Y}(x\mid y_0)=p_x(x),\mathrm{\forall }x\in {ℝ}^m$

або

$f_{X\mid Y}(x\mid y_0)=f_x(x)$ майже усюди на ${ℝ}^m$.

Умовні ймовірності

Дискретні випадкові величини

Якщо $A$ - зліченна підмножина ${ℝ}^m$, то

$\mathbb{P}(X\in A\mid Y=y_0)=\sum _{x\in A}{p}_{X\mid Y}(x\mid y_0)$.

Абсолютно неперервні випадкові величини

Якщо $A\in ℬ({ℝ}^m)$ - борелівська підмножина ${ℝ}^m$, то припускаємо за визначенням

$\mathbb{P}(X\in A\mid Y=y_0)=\underset{A}{\int }{f}_{X\mid Y}(x\mid y_0)dx$.

Зауваження. Умовна ймовірність у лівій частині рівності не може бути визначена класичним способом, оскільки $\mathbb{P}(Y=y_0)=0$.

Умовні математичні сподівання

Дискретні випадкові величини

• Умовне математичне сподівання випадкової величини $X$ за умови $Y=y_0$ виходить підсумовуванням щодо умовного розподілу:

$𝔼[X\mid Y=y_0]=\sum _{x}x{p}_{X\mid Y}(x\mid y_0)$.

• Умовне математичне сподівання $X$ за умови випадкової величини $Y$ - це третя випадкова величина $𝔼[X\mid Y]$, що задається рівністю

$𝔼[X\mid Y](\omega )=𝔼[X\mid Y=Y(\omega )],\omega \in \mathrm{\Omega }$.

Абсолютно неперервні випадкові величини

• Умовне математичне сподівання випадкової величини $X$ за умови $Y=y_0$ виходить інтеграцією щодо умовного розподілу:

$𝔼[X\mid Y=y_0]=\underset{{ℝ}^m}{\int }x{f}_{X\mid Y}(x\mid y_0)dx$.

• Умовне математичне сподівання $X$ за умови випадкової величини $Y$ - це третя випадкова величина $𝔼[X\mid Y]$, що задається рівністю

$𝔼[X\mid Y](\omega )=𝔼[X\mid Y=Y(\omega )],\omega \in \mathrm{\Omega }$.

Джерела

• Шаблон:Карташов.Імовірність процеси статистика
• Шаблон:Гнеденко.Курс теории вероятностей
• Шаблон:Гіхман.Скороход.Ядренко
• Capinski, Marek, Kopp, Peter E. Measure, Integral and Probability. — Springer Verlag 2004. — ISBN 9781852337810
• Williams D. Probability with Martingales/ — Cambridge University Press, 1991/ — ISBN 0-521-40605-6