Q-функція Маркума

У статистиці Q-функція Маркума $Q_M$ визначається як

$Q_M(a,b)=\underset{b}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x{\left(\frac{x}{a}\right)}^{M-1}\exp (-\frac{x^2+a^2}{2})I_{M-1}(ax)dx$

або як

$Q_M(a,b)=\exp (-\frac{a^2+b^2}{2})\sum _{k=1-M}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{a}{b}\right)}^k{I}_k(ab)$

де $I_{M-1}$ модифікована функція Бесселя порядку М − 1. Q-функція Маркума використовується, наприклад, як функція розподілу (точніше, як функція виживання) для нецентрованого хі розподілу, нецентрованого хі-квадрат розподілу та розподілу Райса.

Для нецілих значень M Q-функцію можна визначити наступним чином:

$\begin{array}{cc}{Q}_M(a,b)& =1-e^{-a^2/2}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{a^2}{2}\right)}^k\frac{\gamma (M+k,\frac{b^2}{2})}{k!\mathrm{\Gamma }(M+k)}\\ & =1-e^{-a^2/2}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{a^2}{2}\right)}^k\frac{P(M+k,\frac{b^2}{2})}{k!}\end{array}$

де $P(s,x)$ - регуляризована гамма-функція.

Q-функція Маркума є монотонною та логарифмічно ввігнутою.

Список літератури

• Marcum, JI (1950) "Таблиця функцій Q". Меморандум про дослідження RAND ВПС США M-339 . Санта-Моніка, Каліфорнія: Rand Corporation, 1 січня 1950 р.
• Натталл, Альберт Х. (1975): Деякі інтеграли, що включають функцію Q _M, Транзакції IEEE з теорії інформації, 21 (1), 95–96,Шаблон:ISSN
• Вайсштайн, Ерік В. Маркум Q-функція. З MathWorld - вебресурс Wolfram. [1] Шаблон:Webarchive