Теорема Каратеодорі про ядро

Теорема Каратеодорі про ядро твердження у комплексному аналізі і геометричній теорії функцій доведене грецьким математиком Костянтином Каратеодорі у 1912 році. Теорема має багато застосувань у теорії однолистих функцій.

Твердження теореми

Нехай $f_n$ — послідовність функцій, що є голоморфними однолистими у одиничному крузі $\mathrm{\Delta }=z\in ℂ,|z|<1$ і також $f_n(0)=0$ і $ℝ\ni f{\text{'}}_n(0)>0.$ Позначимо $U_n=f_n(\mathrm{\Delta })$ — образи одиничного круга при дії цих функцій. Нехай $V_n$ позначає зв'язну компоненту, що містить 0 внутрішності перетину $\underset{i=n}{\overset{\mathrm{\infty }}{\cap }}{U}_n.$ Ядром послідовності областей $U_n$ називається об'єднання усіх $V_n$ або точка $\{0\},$ якщо це об'єднання є порожньою множиною. Еквівалентно ядром називається найбільша область така, що кожна її замкнута підмножина є також підмножиною кожної $U_n$ починаючи з деякого n. За означенням послідовність областей $U_n$ збігається до свого ядра $U,$ якщо $U$ також є ядром будь-якої підпослідовності.

Теорема Каратеодорі стверджує, що послідовність $f_n$ збігається рівномірно на компактах до функції f, якщо і тільки якщо послідовність множин $U_n$ збігається до свого ядра і це ядро не є рівним всій комплексній площині. Якщо ядро є рівним $\{0\}$ то функція є константою рівною 0. В іншому випадку ядро U є зв'язаною відритою множиною, f є однолистою функцією і $U=f(\mathrm{\Delta }).$ Окрім того обернені функції $f_n^{-1}$ збігаються до функції $f^{-1}$ рівномірно на компактних підмножинах області $U.$

Приклади

• Якщо U_n є зростаючою послідовністю зв'язаних відкритих множин, що містять 0, тоді ядро є об'єднанням множин.
• Якщо U_n є спадною послідовність зв'язаних відкритих множин , що містять 0, тоді, якщо 0 є внутрішньою точкою U₁ ∩ U₂ ∩ ..., то послідовність збігається компоненти внутрішності , що містить 0. Якщо ж 0 не є внутрішньою точкою, послідовність збігається до $\{0\}$.

Доведення

Необхідність

Нехай послідовність $f_n$ збігається до функції $f$ в одиничному крузі $\mathrm{\Delta }.$ Розглянемо спочатку випадок $f(z)\equiv 0$ і доведемо, що тоді ядро U є точкою $\{0\}$ і $U_n=\to \{0\}.$ Дійсно, в іншому випадку існує круг $|w|<\rho ,\rho >0,$ що належить всім областям $U_n$ і для функцій $f_n^{-1}$ згідно леми Шварца для кола $|w|<\rho ,$ отримуємо $|(f_n^{-1}(0){)}^{\prime }|⩽\frac{1}{\rho },$ тобто ${f_n}^{\prime }(0)⩾\rho .$

Але тоді згідно теореми Кебе про спотворення, застосованої до функції $\frac{f_n(z)}{{f_n}^{\prime }(0)}$, в колі $|z|<1$ маємо: $\rho \frac{|z|}{(1+|z|{)}^2}⩽|f_n(z)|,$ отже, функції $f_n(z)$ не є збіжними до $f(z)\equiv 0.$ Оскільки ті ж міркування можна застосувати і до кожної підпослідовності областей, взятих з $U_n$ то $U_n\to U=\{0\}.$

Нехай тепер $f(z)\equiv ̸0.$. Тоді з оцінки теореми Кебе:

$|{f_n}^{\prime }(0)|\frac{|z|}{(1+|z|{)}^2}⩽|f_n(z)|⩽|{f_n}^{\prime }(0)|\frac{|z|}{(1-|z|{)}^2}$

випливає, що числа ${f_n}^{\prime }(0)$ є обмеженими, а функції $f_n(z)$ є рівномірно обмеженими на компактних підмножинах круга $|z|<1.$ Тому до функцій $f_n(z)$ можна застосувати теорему Віталі, згідно якої вони рівномірно збігаються на компактних підмножинах круга $|z|<1$ до функції $f(z),$ яка, згідно наслідку теореми Гурвіца буде однолистою в $|z|<1.$

Нехай функція $w=f(z)$ відображає одиничний круг на деяку область U, що містить w = 0. Покажемо, що будь-яка замкнута область $U^{*},$ що є підмножиною U, є також підмножиною всіх областей $U_n,$ починаючи з деякого n. Нехай $\delta >0$ — відстань $U^{*}$ до границі U. Покриємо комплексну площину w послідовністю квадратів з довжинами сторін $\delta /2$ і розглянемо область $U_{*}$ утворену з усіх квадратів, що містять всередині або на границі точки з $U^{*}.$ Тоді $U^{*}\subset U_{*}\subset U.$ Нехай областям $U^{*}$ і $U_{*}$ через $w=f(z)$ відповідають у $|z|<1$ області $A^{*}$ і $A_{*},$ де також $A^{*}\subset A_{*}\subset \mathrm{\Delta }.$ Якщо ${\delta }_1>0$ — відстань $U^{*}$ до границі області $U_{*},$ то на границі області $A_{*}$ маємо $|f(z)-w_0|⩾{\delta }_1,$ яка б не була точка $w_0\in U^{*}.$ З іншого боку існує $N>0$ таке, що при $n>N$ на границі $A_{*}$ буде $|f_n(z)-f(z)|<{\delta }_1$ адже функції $f_n(z)$ рівномірно збігаються на компактних підмножинах одиничного круга. Отже, при кожному $n>N$ функція $f_n(z)-w_0$ згідно теореми Руше, має нуль в області $A_{*}.$ Як наслідок образ області $A_{*}$ при відображенні $f_n(z)$ при $n>N$ містить будь-яку точку $w\in U^{*}.$ Отже, кожна замкнута область, що лежить в U, а відповідно, і кожна замкнута підмножина області U, міститься в усіх областях $U_n$, починаючи з деякої. Покажемо, що U є найбільшою областю, що володіє цією властивістю.

Нехай $U^{\prime }$ — будь-яка інша область, яка містить $w=0$ і володіє тією ж властивістю. Тоді функції $f_n^{-1}$ будуть визначені на будь-які замкнутій підмножині області $U^{\prime }$ починаючи з деякого n і будуть на ньому рівномірно обмеженими. Тому із $f_n^{-1}$ можна вибрати підпослідовність, що рівномірно на компактних підмножинах сходиться в області $U^{\prime }$ до голоморфної функції $F(w),F(0)=0,F^{\prime }(0)⩾0.$ Більше того $F^{\prime }(0)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(f_n^{-1}{)}^{\prime }(0)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{f^{\prime }(0)}>0.$ Тобто функція F не є константою і з теореми Гурвіца випливає, що вона є однолистою на $U^{\prime }.$

Доведемо, що $F(w)$ є оберненою функцією до $f(z).$ Справді, візьмемо будь-яку точку $z_0,|z_0|<1$ і нехай $f(z_0)=w_0\in U.$ Нехай коло $|z-z_0|=\epsilon ,\epsilon >0$ цілком лежить в крузі $|z|<1.$ На ньому буде $|f(z)-w_0|>m,m>0.$ З іншого боку, при $k>K$ на $|z-z_0|=\epsilon$ маємо $|f_{n_k}(z)-f(z)|<m.$ Згідно теореми Руше функції $f_{n_k}(z)-w_0$ при $k>K$ мають в $|z-z_0|<\epsilon$ по нулю, які ми позначимо через $z_k.$ Маємо: $f_{n_k}(z_k)=w_0,z_k=f_{n_k}^{-1}(w_0)$ для $k>K.$ Звідси при $k\to \mathrm{\infty }$ отримуємо $z_k\to F(w_0)$ і тому $F(w_0)$ належить $|z-z_0|⩽\epsilon .$ Зважаючи на довільність $\epsilon >0$ отримуємо $F(w_0)=z_0.$ Отже, ми показали, що з $w_0=f^{\prime }(z_0)$ випливає $F(w_0)=z_0,$ тобто що $F(w)$ є оберненою функцією для $f(z).$ Так як це міркування можна застосувати і для кожної збіжної підпослідовності функцій з $f_n^{-1},$ причому завжди граничною функцією буде функція $F(w)=f^{-1}(w)$ обернена до $f(z)$ то і сама послідовність функцій $f_n^{-1},$ сходиться в області $U^{\prime }$ до функції $f^{-1}(w).$ Функція $F(w)$ відображає область $U^{\prime }$ на деяку область A. Оскільки $|f_n^{-1}|⩽1$ у $U_n$ то $|F(w)|⩽1$ в $U^{\prime }$, ​​тобто A є підмножиною одиничного круга.

Останнє дає можливість довести, що $U^{\prime }\subset U.$ Дійсно, якщо $w_0\in U^{\prime }$ і $z_0=F(w_0)$ то $|z_0|<1$ і, отже, $w_0=f(z_0),$ тобто кожна точка області $U^{\prime }$ належить і області $U.$ Таким чином U є найбільшою областю, яка містить z = 0 і володіє властивістю, що будь-яка її замкнута підмножина належить всім областям $U_n,$ починаючи з деякої, тобто U є ядром для послідовності областей $U_n.$ Звідси ж випливає, що U має більше однієї граничної точки.

Якщо тепер взяти будь-яку підпослідовність областей $U_{n_k}$ і до відповідної підпослідовності функцій $f_{n_k}(z)$ збіжної до функції $f(z)$ застосувати попередні висновки, то отримаємо, що функція $f(z)$ відображає одиничний круг на ядро ​​цієї нової послідовності областей, яке, відповідно, збігається з $U.$. Це показує, що $U_n\to U,$ що завершує доведення необхідності одночасно додаткових висновки, зазначених в теоремі.

Достатність

Нехай тепер $U_n\to U$ і ядро ​​U є точкою $\{0\}$ або областю, що має більше однієї граничної точки. Нехай спершу $U=\{0\}$. Якби послідовність $f{\text{'}}_n(0)$ не збігалася до 0, то існувала б підпослідовність для якої $|f_{{n_k}^{\prime }}(0)|>\epsilon ,\epsilon >0.$ Тоді у $|z|<1$ згідно теореми Кебе про спотворення:

$|f_{n_k}(z)|⩾|f_{{n_k}^{\prime }}(0)|\frac{|z|}{(1+|z|{)}^2}>\frac{\epsilon |z|}{(1+|z|{)}^2}$

отже, ядро ​​U не було б точкою. Але якщо $f{\text{'}}_n(0)\to 0,$ то з тієї ж теореми:

$|f_n(z)|⩾|{f_n}^{\prime }(0)|\frac{|z|}{(1-|z|{)}^2}$

і тому у $f_n(z)\to 0$ у $|z|<1$, що і доводить твердження у цьому випадку.

Розглянемо тепер випадок, коли ядро ​​U є областю, що має більше однієї граничної точки. Тоді числа ${f_n}^{\prime }(0)$ мають бути обмеженими. В іншому випадку існує підпослідовність $f_{{n_k}^{\prime }}(0)\to \mathrm{\infty }$ і з нерівності:

$|f_{n_k}(z)|⩾|f_{{n_k}^{\prime }}(0)|\frac{|z|}{(1+|z|{)}^2}$

випливає, що образи круга $|z|<1$ при відображенні функціями $f_{n_k}(z),$${\displaystyle }$ починаючи з деякого k, містять будь-який заданий круг $|w|<R,$ що суперечить збіжності $U_n$ до $U.$ Із цього випливає, що функції $f_n(z)$ є рівномірно обмеженими на компактних підмножинах круга $|z|<1.$ Припустимо тепер, що ця послідовність функцій не збігається точці $z_0.$ Тоді існують дві підпослідовності $f_{n_k}$ і $f_{n_l},$ що збігаються в $|z|<1$ до двох різних функцій $g(z)$ і $h(z).$

Якщо обидві ці функції не є тотожно рівними нулю, то за доведенням необхідності теореми, застосованого до послідовностей $f_{n_k}$ і $f_{n_l},$ отримаємо, що функції$g(z)$ і $h(z)$ відображають круг $|z|<1$ на ядро ​​послідовностей областей $U_{n_k}$ і $U_{n_l},$ тобто на область U. Оскільки $g(0)=0,g^{\prime }(0)>0$ і $f(0)=0,f^{\prime }(0)>0$ то з твердження єдиності у теоремі Рімана про відображення випливає, що $g(z)\equiv h(z),$ що суперечить попередньому.

Якщо ж одна з функцій $g(z)$ і $h(z)$ є тотожно рівною нулю, а інша ні, то застосовуючи доведення необхідності, робимо висновок, що одна з послідовностей областей $U_{n_k}$ і $U_{n_l}$ має ядром точку $\{0\},$ а інша — деяку область і тому послідовність областей $U_n$ не сходиться до ядра. З одержаного протиріччя випливає, що функції $f_n(z)$ повинні сходиться в крузі $|z|<1$ до скінченної функції і згідно теореми Віталі збіжність буде рівномірною на компактних підмножинах у $|z|<1.$

Література

• Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного, 2 изд. — М., 1966. — С. 56 — 60.
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation