Теорема Руше

Теореми Руше — твердження в комплексному аналізі згідно з яким, якщо функції $f(z)$ і $g(z)$ голоморфні в однозв'язній області $G$, а на контурі $\partial G$ також виконується строга нерівність $|f(z)-g(z)|<|f(z)|,\mathrm{\forall }z\in \partial G$, то в області $G$ функції $f$ і $g$ мають однакову кількість нулів з урахуванням кратності.

Доведення

З нерівності $|f(z)-g(z)|<|f(z)|$ випливає, що функції $f,g$ не мають нулів на $\partial G.$ Поділивши $|g(z)-f(z)|=|f(z)-g(z)|$ на $|f(z)|$ одержуємо нерівність $|F(z)-1|<1,\mathrm{\forall }z\in \partial G,$ де $F(z)=\frac{g(z)}{f(z)}.$

Звідси бачимо, що образ $\partial G^{\prime }$ контуру $\partial G$ щодо відображення $w=F(z)$ лежить всередині відкритого круга радіуса 1 з центром в точці $w=1.$ Оскільки 0 не належить цьому кругу, то функція $\frac{1}{w}$ буде голоморфною в цьому кругу і, відповідно, на контурі $\partial G^{\prime }$ і в обмеженій ним області. Тоді згідно з інтегральною теоремою Коші:

${\oint }_{\partial G^{\prime }}\frac{1}{w}dw=0.$

Оскільки $w=F(z),dw=F^{\prime }(z)dz,$ то звідси

${\oint }_{\partial G}\frac{F^{\prime }(z)}{F(z)}dz=0.(*)$

З формули похідної від частки можна одержати:

$\frac{F^{\prime }(z)}{F(z)}=\frac{g^{\prime }(z)}{g(z)}-\frac{f^{\prime }(z)}{f(z)}$

Підставляючи цей вираз в (*) одержуємо:

${\oint }_{\partial G}[\frac{g^{\prime }(z)}{g(z)}-\frac{f^{\prime }(z)}{f(z)}]dz=0$

або

${\oint }_{\partial G}\frac{f^{\prime }(z)}{f(z)}dz={\oint }_{\partial G}\frac{g^{\prime }(z)}{g(z)}dz.$

Оскільки згідно з умовою функції f, g є голоморфними і не мають полюсів, то з принципом аргументу випливає, що кількість нулів для цих функцій в області G має бути однаковою.

Див. також

• Інтегральна теорема Коші
• Основна теорема про лишки
• Принцип аргументу
• Принцип збереження області

Література

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Zill Dennis G., Shanahan Patrick D., A first course in complex analysis with applications, Jones and Bartlett Publishers, Inc., ISBN 0763714372