Теорема Віталі (комплексний аналіз)

Теорема Віталі — твердження у комплексному аналізі про властивості рівномірно обмеженої послідовності голоморфних функцій. Теорема названа на честь італійського математика Джузеппе Віталі .

Твердження теореми

Якщо послідовність функцій $f_n$ голоморфних в області $\mathrm{\Omega }$ є рівномірно обмежена на компактних підмножинах $\mathrm{\Omega }$ і для всіх $z,$ що належить підмножині $E\subset \mathrm{\Omega },$ що має граничну точку всередині $\mathrm{\Omega }$ існує границя $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}_n(z)$ то $f_n$ є рівномірно збіжною на компактних підмножинах $\mathrm{\Omega }$ до функції $f,$ що є голоморфною на $\mathrm{\Omega }.$

Зауваження. Аналог теореми для функцій багатьох змінних є невірним. Наприклад можна взяти за $\mathrm{\Omega }$ — бікруг із змінними $z,w$ і розглянути послідовність функцій $f_n(z,w)=(-1{)}^n{z}^n.$

Доведення

Припустимо, що послідовність $f_n$ не є збіжною в деякій точці $z_0\in \mathrm{\Omega }.$ Тоді з послідовності чисел $f_n(z_0)$ можна виділити дві підпослідовності, що збігаються до різних чисел $w_1$ і $w_2.$ Нехай відповідні підпослідовності функцій будуть $f_{n_k}$ і $f_{n_l}.$

Послідовності $f_{n_k}$ і $f_{n_l}$ є рівномірно обмеженими на компактних підмножинах $\mathrm{\Omega }$ і тому, згідно теореми Монтеля з них можна виділити нові підпослідовності $f_{n_s}$ і $f_{n_t},$ що рівномірно на компактних підмножинах $\mathrm{\Omega }$ збігаються до функцій $f_1^{*}(z)$ і $f_2^{*}(z).$ Згідно теореми Вейєрштраса ці функції є голоморфними на $\mathrm{\Omega }$. Оскільки $\underset{s\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}_{n_s}(z_0)=w_1\ne w_2=\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}_{n_t}(z_0)$ то також $f_1^{*}(z)\ne f_2^{*}(z).$ Але послідовності $f_{n_s}(z)$ і $f_{n_t}(z),$ як підпослідовності з $f_n(z),$ збігаються на всіх точках $z\in E$ до однакових границь, тож $f_1^{*}(z)=f_2^{*}(z)$ для всіх $z\in E.$ Але $E$ має граничну точку всередині $\mathrm{\Omega }$ і тому, згідно теореми про рівність $f_1^{*}(z)=f_2^{*}(z).$ Одержане протиріччя доводить, що послідовність $f_n(z)$ є збіжною в усій області $\mathrm{\Omega }.$ Рівномірна збіжність $f_n$ на компактних підмножинах $\mathrm{\Omega }$ випливає із теореми Монтеля.

Посилання

• Vitali's Theorem on convergence of holomorphic functions на сайті MathOverflow

Див. також

• Теорема Монтеля

Література

• Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного, 2 изд. — М., 1966. — С. 56 — 60.