Функція дільників

Функція дільників — арифметична функція, пов'язана з дільниками цілого числа. Функція відома також під назвою функція дивізорів. Застосовується, зокрема, при дослідженні зв'язку дзета-функції Рімана і рядів Ейзенштейна для модулярних форм. Вивчалася Рамануджаном, який вивів ряд важливих рівностей в модульній арифметиці і арифметичних тотожностей.

З функцією дільників тісно пов'язана суматорна функція дільників, яка, як випливає з назви, є сумою функції дільників.

Означення

Функція сума додатних дільників σ_x(n) для дійсного або комплексного числа x визначається як сума x степенів додатних дільників числа n. Функцію можна виразити формулою

σ_{x} (n) = \sum_{d | n} d^{x},

де $d | n$ означає «d ділить n».

Найважливішими частковими випадками є x = 0 і x = 1. Для позначення σ₀(n) або функції кількості дільників використовуються також позначення d(n), ν(n) и τ(n) (від німецького Teiler = дільник) ^[1] ^[2]. У цьому випадку функція має просту геометричну інтерпретацію: σ₀(n) = d(n) дорівнює кількості точок (x, y) з цілими координатами у «правому верхньому квадранті», що лежать на гіперболі xy = n.

Якщо x дорівнює 1, функція називається сигма-функцією або сумою дільників ^[3] і індекс часто опускається, так що σ(n) є еквівалентним σ₁(n) ^[4].

Пов'язаною з σ(n) є функція s(n), що є рівною сумі власних дільників (тобто дільників, за винятком самого n) ^[5], тобто s(n) = σ₁(n) - n.

Приклади

Наприклад, σ₀(12) — кількість дільників числа 12:

\begin{matrix} σ_{0} (12) & = 1^{0} + 2^{0} + 3^{0} + 4^{0} + 6^{0} + 1 2^{0} \\ = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 6, \end{matrix}

тоді як σ₁(12) — сума всіх дільників:

\begin{matrix} σ_{1} (12) & = 1^{1} + 2^{1} + 3^{1} + 4^{1} + 6^{1} + 1 2^{1} \\ = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28, \end{matrix}

і сума s(12) власних дільників є рівною:

\begin{matrix} s (12) & = 1^{1} + 2^{1} + 3^{1} + 4^{1} + 6^{1} \\ = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16 . \end{matrix}

Таблиця значень

n	Дільники	σ₀(n)	σ₁(n)	s(n) = σ₁(n) − n	Коментарі
1	1	1	1	0	квадрат: значення σ₀(n) є непарним; степінь 2: s(n) = n − 1 (майже досконале)
2	1,2	2	3	1	просте: σ₁(n) = 1+n, так що s(n) =1
3	1,3	2	4	1	просте: σ₁(n) = 1+n, так що s(n) =1
4	1,2,4	3	7	3	квадрат: σ₀(n) є непарним; степінь 2: s(n) = n − 1 (майже досконале)
5	1,5	2	6	1	просте: σ₁(n) = 1+n, так що s(n) =1
6	1,2,3,6	4	12	6	перше досконале число: s(n) = n
7	1,7	2	8	1	просте: σ₁(n) = 1+n, так що s(n) =1
8	1,2,4,8	4	15	7	степінь 2: s(n) = n - 1 (майже досконале)
9	1,3,9	3	13	4	квадрат: σ₀(n) є непарним
10	1,2,5,10	4	18	8
11	1,11	2	12	1	просте: σ₁(n) = 1+n, так що s(n) =1
12	1,2,3,4,6,12	6	28	16	перше надлишкове число: s(n) > n
13	1,13	2	14	1	просте: σ₁(n) = 1+n, так що s(n) =1
14	1,2,7,14	4	24	10
15	1,3,5,15	4	24	9
16	1,2,4,8,16	5	31	15	квадрат: σ₀(n) є непарним; степінь 2: s(n) = n - 1 (майже досконале)

σ₀(n)	+0	+1	+2	+3	+4	+5	+6	+7	+8	+9	+10	+11
0+		1	2	2	3	2	4	2	4	3	4	2
12+	6	2	4	4	5	2	6	2	6	4	4	2
24+	8	3	4	4	6	2	8	2	6	4	4	4
36+	9	2	4	4	8	2	8	2	6	6	4	2
48+	10	3	6	4	6	2	8	4	8	4	4	2
60+	12	2	4	6	7	4	8	2	6	4	8	2
72+	12	2	4	6	6	4	8	2	10	5	4	2
84+	12	4	4	4	8	2	12	4	6	4	4	4
96+	12	2	6	6	9	2	8	2	8	8	4	2
108+	12	2	8	4	10	2	8	4	6	6	4	4
120+	16	3	4	4	6	4	12	2	8	4	8	2
132+	12	4	4	8	8	2	8	2	12	4	4	4

σ₁(n)	+0	+1	+2	+3	+4	+5	+6	+7	+8	+9	+10	+11
0+		1	3	4	7	6	12	8	15	13	18	12
12+	28	14	24	24	31	18	39	20	42	32	36	24
24+	60	31	42	40	56	30	72	32	63	48	54	48
36+	91	38	60	56	90	42	96	44	84	78	72	48
48+	124	57	93	72	98	54	120	72	120	80	90	60
60+	168	62	96	104	127	84	144	68	126	96	144	72
72+	195	74	114	124	140	96	168	80	186	121	126	84
84+	224	108	132	120	180	90	234	112	168	128	144	120
96+	252	98	171	156	217	102	216	104	210	192	162	108
108+	280	110	216	152	248	114	240	144	210	182	180	144
120+	360	133	186	168	224	156	312	128	255	176	252	132
132+	336	160	204	240	270	138	288	140	336	192	216	168

σ₂(n)	+0	+1	+2	+3	+4	+5	+6	+7	+8	+9	+10	+11
0+		1	5	10	21	26	50	50	85	91	130	122
12+	210	170	250	260	341	290	455	362	546	500	610	530
24+	850	651	850	820	1050	842	1300	962	1365	1220	1450	1300
36+	1911	1370	1810	1700	2210	1682	2500	1850	2562	2366	2650	2210
48+	3410	2451	3255	2900	3570	2810	4100	3172	4250	3620	4210	3482
60+	5460	3722	4810	4550	5461	4420	6100	4490	6090	5300	6500	5042
72+	7735	5330	6850	6510	7602	6100	8500	6242	8866	7381	8410	6890
84+	10500	7540	9250	8420	10370	7922	11830	8500	11130	9620	11050	9412
96+	13650	9410	12255	11102	13671	10202	14500	10610	14450	13000	14050	11450
108+	17220	11882	15860	13700	17050	12770	18100	13780	17682	15470	17410	14500
120+	22100	14763	18610	16820	20202	16276	22750	16130	21845	18500	22100	17162
132+	25620	18100	22450	21320	24650	18770	26500	19322	27300	22100	25210	20740

Випадки $x = 2$ , $x = 3$ і так далі входять в послідовності Шаблон:OEIS2C, Шаблон:OEIS2C, Шаблон:OEIS2C, Шаблон:OEIS2C, Шаблон:OEIS2C, Шаблон:OEIS2C …

Властивості

Для цілих, які не є квадратами, кожен дільник d числа n має пов'язаний дільник n/d, і тому для таких чисел $σ_{0} (n)$ завжди є парним. Для квадратів один дільник, а саме $\sqrt{n}$ , не має пари, так що для них $σ_{0} (n)$ завжди є непарним числом.

Для простого числа p,

\begin{matrix} σ_{0} (p) & = 2 \\ σ_{0} (p^{n}) & = n + 1 \\ σ_{1} (p) & = p + 1 \end{matrix}

оскільки, за означенням, просте число ділиться тільки на одиницю і самого себе.

Якщо p_n# позначає прайморіал, то

σ_{0} (p_{n} #) = 2^{n}

Для всіх $n > 2$ виконуються нерівності $1 < σ_{0} (n) < n$ і $n \sqrt{n} > σ (n) > n$ .

Для складених чисел виконується нерівність

σ (n) > n + n^{\frac{1}{2}}

^[6].

Для будь-яких цілих чисел більших одиниці

σ (m n) > σ (n) + σ (m)

.

Для всіх

n

окрім 1,2,3,4,6 и 8 виконується нерівність Анапурни)^,^[7]^,^[8]:

σ (n) < \frac{6}{π^{2}} \cdot n^{\frac{3}{2}}

Для всіх натуральних чисел

n

і

m

виконується нерівність Сіварамакрішнана — Венкатараманана:

σ_{m} (n) \geq n^{\frac{m}{2}} \cdot σ_{0} (n)

Нерівність Ленгфорда

σ (n) \leq \frac{1}{2} (n + 1) σ_{0} (n)

У кільці арифметичних функцій функція дільників є оборотним елементом і можна дати еквівалентне означення^[9]: $σ_{x} = ι_{0} * ι_{x},$ де, за означенням $ι_{x} (n) = n^{x}$ , а * позначає згортку Діріхле. Оберненим елементом для функції σ_x є мультиплікативна арифметична функція задана як^[10]:
$(σ_{x}^{- 1}) (p^{k}) = {\begin{matrix} 1, & k = 0 \\ - 1 - p^{x}, & k = 1 \\ p^{x}, & k = 2 \\ 0, & k > 2 \end{matrix}$ Для цієї функції виконується рівність $σ_{x}^{- 1} = (ι_{x} μ) * μ$ , і зокрема для $x = 0$ : $σ_{0}^{- 1} = μ * μ$ , де $μ$ — функція Мебіуса.
При тих же позначеннях $σ_{- x} = ι_{- x} σ_{x} .$

Функція дільників є мультиплікативною, але не цілком мультиплікативною.

Якщо

m, n

— взаємно прості натуральні числа, і

d^{*} | m n

, то

d^{*} = d d^{'}

, де

d | m

і

d^{'} | m

і до того ж такий запис є єдиним (з точністю до порядку множників). Навпаки, якщо

d | m

і

d^{'} | n

, то

d d^{'} | m n

. Тому

\sum_{d | m} d^{x} \sum_{d^{'} | n} (d^{'})^{x} = \sum_{d^{*} | m n} (d^{*})^{x}

, тобто

σ_{x} (m) σ_{x} (n) = σ_{x} (m n)

.

Натомість, наприклад,

σ_{x} (2) = 1 + 2^{x}, σ_{x} (4) = 1 + 2^{x} + 4^{x}

і тому

σ_{x} (2) \cdot σ_{x} (2) = 1 + 2 \cdot 2^{x} + 4^{x} \neq σ_{x} (4) = 1 + 2^{x} + 4^{x}

.

Якщо записати

n = \prod_{i = 1}^{r} p_{i}^{a_{i}}

,

де r = ω(n) — кількість простих дільників числа n, p_i — i-й простий дільник, а a_i — максимальний степінь p_i, на який ділиться n, то з мультиплікативності функції дільників отримуємо:

σ_{x} (n) = \prod_{i = 1}^{r} \sum_{j = 0}^{a_{i}} p_{i}^{j x} = \prod_{i = 1}^{r} (1 + p_{i}^{x} + p_{i}^{2 x} + \dots + p_{i}^{a_{i} x}) .

.

Використовуючи формулу суми геометричної прогресії, також можна записами:

σ_{x} (n) = \prod_{i = 1}^{r} \frac{p_{i}^{(a_{i} + 1) x} - 1}{p_{i}^{x} - 1}

,

Якщо у попередній формулі взяти x = 0, отримаємо, що d(n) є рівним:

σ_{0} (n) = \prod_{i = 1}^{r} (a_{i} + 1) .

Приклад, число n = 24 має два простих дільники — p₁ = 2 і p₂ = 3. Оскільки 24 — добуток 2³×3¹, то a₁ = 3 і a₂ = 1.

Тепер можна обчислити

σ_{0} (24)

:

\begin{matrix} σ_{0} (24) & = \prod_{i = 1}^{2} (a_{i} + 1) \\ = (3 + 1) (1 + 1) = 4 \times 2 = 8 . \end{matrix}

Вісім дільників числа 24 — 1, 2, 4, 8, 3, 6, 12 і 24.

Функція s(n) використовується для означення досконалих чисел — для них s(n) = n. Якщо s (n) > n, то n називається надлишковим, а якщо s(n) < n, то n називається недостатнім.

Якщо n — степінь двійки, тобто

n = 2^{k}

, то

σ (n) = 2 \times 2^{k} - 1 = 2 n - 1,

і s(n) = n-1, що робить n майже досконалим.

Як приклад, для двох простих p і q (де p < q), нехай $n = p q .$

Тоді

σ (n) = (p + 1) (q + 1) = n + 1 + (p + q),

ϕ (n) = (p - 1) (q - 1) = n + 1 - (p + q),

і

n + 1 = (σ (n) + ϕ (n)) / 2,

p + q = (σ (n) - ϕ (n)) / 2,

де φ(n) — функція Ейлера.

Тоді корені p і q рівняння:

(x - p) (x - q) = x^{2} - (p + q) x + n = x^{2} - [(σ (n) - ϕ (n)) / 2] x + [(σ (n) + ϕ (n)) / 2 - 1] = 0

можна виразити через σ(n) и φ(n) :

p = (σ (n) - ϕ (n)) / 4 - \sqrt{[(σ (n) - ϕ (n)) / 4]^{2} - [(σ (n) + ϕ (n)) / 2 - 1]},

q = (σ (n) - ϕ (n)) / 4 + \sqrt{[(σ (n) - ϕ (n)) / 4]^{2} - [(σ (n) + ϕ (n)) / 2 - 1]} .

Знаючи n і або σ(n), або φ(n) (чи знаючи p+q і або σ(n) або φ(n)) можна знайти p і q.

В 1984 році Хіз-Браун (Roger Heath-Brown) довів, що рівність

σ_{0} (n) = σ_{0} (n + 1)

виконується для нескінченної кількості натуральних чисел.

Зв'язок з рядами

Два ряди Діріхле, із функцією дільників:

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{σ_{a} (n)}{n^{s}} = ζ (s) ζ (s - a),

і при позначенні d(n) = σ₀(n) зокрема

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{d (n)}{n^{s}} = ζ^{2} (s),

Інший ряд, де використовуються ці функції:

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{σ_{a} (n) σ_{b} (n)}{n^{s}} = \frac{ζ (s) ζ (s - a) ζ (s - b) ζ (s - a - b)}{ζ (2 s - a - b)} .

Ряд Ламбера, із функцією дільників:

\sum_{n = 1}^{\infty} q^{n} σ_{a} (n) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n^{a} q^{n}}{1 - q^{n}}

для будь-якого комплексного |q| ≤ 1 і a.

Ця сума зустрічається також в рядах Фур'є для рядів Ейзенштейна і в інваріантах еліптичних функцій Вейєрштраса.

Асимптотична швидкість росту

Швидкість росту кількості дільників

Для всіх $ε > 0$ справедливою є границя:

\underset{n \to \infty}{\lim^{―}} \frac{d (n)}{(\log n)^{ε}} = \infty .

Дійсно можна вибрати таке ціле число

k

, що

k ⩽ ε < k + 1

і позначаючи

p_{k}

— k-те по величині просте число можна ввести числа

n_{i} = (2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot p_{k})^{i}

для

i \in ℕ

. Тоді з формули кількості дільників через розклад на добуток простих чисел

d (n_{i}) = (i + 1)^{k + 1} > i^{k + 1} = {(\frac{\log n_{i}}{\log (2 \cdot \dots \cdot p_{k + 1})})}^{k + 1} > c (\log n_{i})^{k + 1}

, де

c

— константа, що не залежить від

i

. Позначивши

δ = k + 1 - ε

з попередньої нерівності отримаємо

\lim_{i \to \infty} \frac{d (n_{i})}{(\log n_{i})^{ε}} > \lim_{i \to \infty} c (\log n_{i})^{δ} = \infty .

З іншого боку функція кількості дільників задовольняє нерівність^[11]

для всіх

ϵ > 0, d (n) = o (n^{ϵ})

, тобто

\lim_{n \to \infty} \frac{d (n)}{n^{ε}} = 0 .

Северин Вігерт дав більш точну оцінку

\underset{n \to \infty}{\lim^{―}} \frac{\log d (n)}{\log n / \log \log n} = \log 2 .

З іншого боку, для будь-якого простого числа $d (p) = 2$ і з огляду на нескінченність множини простих чисел,

\underset{n \to \infty}{\lim_{―}} d (n) = 2 .

Діріхле показав, що середній порядок функції дільників задовольняє нерівність:

Для всіх

x \geq 1, \sum_{n \leq x} d (n) = x \log x + (2 γ - 1) x + O (\sqrt{x}),

де

γ

— стала Ейлера — Маскероні.

Завдання покращити границю

O (\sqrt{x})

в цій формулі називається проблемою Діріхле про дільники.

Швидкість росту суми дільників

Поведінка сигма функції є нерівномірною. Асимптотичну швидкість росту сигма функції можна виразити формулою:

\underset{n \to \infty}{\lim^{―}} \frac{σ (n)}{n \log \log n} = e^{γ} .

Цей результат називається теоремою Гронвала (Gronwall) і був опублікований у 1913 році ^[12]. Його доведення використовує третю теорему Мертенса, яка стверджує, що

\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\log n} \prod_{p \leq n} \frac{p}{p - 1} = e^{γ},

де p — просте число.

У 1915 році Рамануджан довів, що при виконанні гіпотези Рімана нерівність

σ (n) < e^{γ} n \log \log n

(нерівність Робіна)

виконується для всіх досить великих n ^[13].

У 1984 році Гай Робін довів, що нерівність є вірною для всіх n ≥ 5041 в тому і тільки в тому випадку, якщо гіпотеза Рімана є вірною ^[14]. Це твердження називається теоремою Робіна.

Найбільше відоме число, що порушує нерівність Робіна — n = 5040. Якщо гіпотеза Рімана вірна, то немає більших чисел, що порушують нерівність. Робін показав, що в разі помилковості гіпотези існує нескінченна кількість чисел n, що порушують нерівність, і відомо, що найменше з таких чисел n ≥ 5041 має бути надлишковим числом ^[15]. Було показано, що нерівність виконується для великих непарних вільних від квадратів чисел, і що гіпотеза Рімана еквівалентна виконанню нерівності для всіх чисел n, що діляться на п'ятий степінь простого числа ^[16]

Джефрі Лагаріас (Jeffrey Lagarias) в 2002 році довів, що гіпотеза Рімана еквівалентна твердженням

σ (n) \leq H_{n} + \ln (H_{n}) e^{H_{n}}

для будь-якого натурального n, де

H_{n}

— n-е гармонічне число ^[17].

Робін довів, що нерівність

σ (n) < e^{γ} n \log \log n + \frac{0.6483 n}{\log \log n}

виконується для n ≥ 3 без будь-яких додаткових умов.

Див. також

Функція суми квадратів

Примітки

Шаблон:Reflist

Посилання

Шаблон:Чандрасекхаран.Введение в аналитическую теорию чисел
Apostol Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929, Zbl 0335.10001
Bach, Eric; Shallit, Jeffrey, Algorithmic Number Theory, volume 1, 1996, MIT Press. ISBN 0-262-02405-5, see page 234 in section 8.8.
Шаблон:Mathworld
Elementary Evaluation of Certain Convolution Sums Involving Divisor Functions

Шаблон:Числа за подільністю

↑ Long, Calvin T. (1972), Elementary Introduction to Number Theory (2nd ed.), Lexington: DC Heath and Company, LCCN 77-171950 стор 46
↑ Шаблон:OEIS
↑ Pettofrezzo, Anthony J .; Byrkit, Donald R. (1970), Elements of Number Theory, Englewood Cliffs: Prentice Hall, LCCN 77-81766 , Стор 58
↑ Шаблон:OEIS
↑ Шаблон:OEIS
↑ Mitrinovic D. S., Sandor J., Crstici B., Handbook of Number Theory, Kluwer Academic Publishers, 1996, ISBN 0-7923-3823-5, III.
↑ Annapurna V., Inequalities of σ(n) and φ(n), Math. Mag., 45, 1972, стр. 187 – 190
↑ Mitrinovic D. S., Sandor J., Crstici B., Handbook of Number Theory, Kluwer Academic Publishers, 1996, ISBN 0-7923-3823-5, III.
↑ Bundschuh, P., Einführung in die Zahlentheorie, Springer-Verlag, 1991, ISBN 3-540-55178-6, 1.4.10
↑ Siemon, H., Einführung in die Zahlentheorie, Verlag Dr. Kovac, Hamburg, 2002, ISSN 1435 – 6511, 5.5, 8.15.4 и 8.7
↑ "Apostol Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929, Zbl 0335.10001
↑ Gronwall, Thomas Hakon (1913), «Some asymptotic expressions in the theory of numbers», Transactions of the American Mathematical Society 14: 113 -122, doi: 10.1090 / S0002-9947-1913-1500940-6
↑ Ramanujan, Srinivasa (1997), «Highly composite numbers, annotated by Jean-Louis Nicolas and Guy Robin», The Ramanujan Journal 1 (2): 119-153, doi: 10.1023 / A: 1009764017495, ISSN 1382-4090, MR 1606180
↑ Robin, Guy (1984), «Grandes valeurs de la fonction somme des diviseurs et hypothese de Riemann», Journal de Mathematiques Pures et Appliquees, Neuvieme Serie 63 (2 ): 187-213, ISSN 0021-7824, MR 774171
↑ Akbary, Amir; Friggstad, Zachary (2009), «Superabundant numbers and the Riemann hypothesis», American Mathematical Monthly 116 (3): 273-275, doi: 10.4169 / 193009709X470128
↑ YoungJu Choie, Nicolas Lichiardopol, Pieter Moree, Patrick Sole On Robin's criterion for the Riemann hypothesis 2007 Journal de theorie des nombres de Bordeaux, ISSN = 1246-7405, v19, issue 2, pages = 357-372
↑ Lagarias, Jeffrey C. (2002) , «An elementary problem equivalent to the Riemann hypothesis», The American Mathematical Monthly 109 (6): 534-543, doi: 10.2307 / 2695443, ISSN 0002-9890, JSTOR 2695443, MR 19080

[1] Long, Calvin T. (1972), Elementary Introduction to Number Theory (2nd ed.), Lexington: DC Heath and Company, LCCN 77-171950 стор 46

[2] Шаблон:OEIS

[3] Pettofrezzo, Anthony J .; Byrkit, Donald R. (1970), Elements of Number Theory, Englewood Cliffs: Prentice Hall, LCCN 77-81766 , Стор 58

[4] Шаблон:OEIS

[5] Шаблон:OEIS

[HNB-6] Mitrinovic D. S., Sandor J., Crstici B., Handbook of Number Theory, Kluwer Academic Publishers, 1996, ISBN 0-7923-3823-5, III.

[Annapurna-7] Annapurna V., Inequalities of σ(n) and φ(n), Math. Mag., 45, 1972, стр. 187 – 190

[HNB2-8] Mitrinovic D. S., Sandor J., Crstici B., Handbook of Number Theory, Kluwer Academic Publishers, 1996, ISBN 0-7923-3823-5, III.

[Bu-9] Bundschuh, P., Einführung in die Zahlentheorie, Springer-Verlag, 1991, ISBN 3-540-55178-6, 1.4.10

[Si-10] Siemon, H., Einführung in die Zahlentheorie, Verlag Dr. Kovac, Hamburg, 2002, ISSN 1435 – 6511, 5.5, 8.15.4 и 8.7

[11] "Apostol Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929, Zbl 0335.10001

[12] Gronwall, Thomas Hakon (1913), «Some asymptotic expressions in the theory of numbers», Transactions of the American Mathematical Society 14: 113 -122, doi: 10.1090 / S0002-9947-1913-1500940-6

[13] Ramanujan, Srinivasa (1997), «Highly composite numbers, annotated by Jean-Louis Nicolas and Guy Robin», The Ramanujan Journal 1 (2): 119-153, doi: 10.1023 / A: 1009764017495, ISSN 1382-4090, MR 1606180

[14] Robin, Guy (1984), «Grandes valeurs de la fonction somme des diviseurs et hypothese de Riemann», Journal de Mathematiques Pures et Appliquees, Neuvieme Serie 63 (2 ): 187-213, ISSN 0021-7824, MR 774171

[15] Akbary, Amir; Friggstad, Zachary (2009), «Superabundant numbers and the Riemann hypothesis», American Mathematical Monthly 116 (3): 273-275, doi: 10.4169 / 193009709X470128

[16] YoungJu Choie, Nicolas Lichiardopol, Pieter Moree, Patrick Sole On Robin's criterion for the Riemann hypothesis 2007 Journal de theorie des nombres de Bordeaux, ISSN = 1246-7405, v19, issue 2, pages = 357-372

[17] Lagarias, Jeffrey C. (2002) , «An elementary problem equivalent to the Riemann hypothesis», The American Mathematical Monthly 109 (6): 534-543, doi: 10.2307 / 2695443, ISSN 0002-9890, JSTOR 2695443, MR 19080

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

Функція дільників

Зміст

Означення

Приклади

Таблиця значень

Властивості

Зв'язок з рядами

Асимптотична швидкість росту

Швидкість росту кількості дільників

Швидкість росту суми дільників

Див. також

Примітки

Посилання

Навігаційне меню

Функція дільників

Означення

Приклади

Таблиця значень

Властивості

Зв'язок з рядами

Асимптотична швидкість росту

Швидкість росту кількості дільників

Швидкість росту суми дільників

Див. також

Примітки

Посилання

Навігаційне меню

Пошук