Теореми Мертенса

Теоремами Мертенса називаються кілька пов'язаних тверджень, щодо властивостей простих чисел доведені у 1874 році польським математиком Францом Мертенсом.

Твердження теорем

Нехай $x$ є дійсним числом і вирази $\sum _{n⩽x}$ і $\sum _{p⩽x}$ позначають суму по всіх натуральних і простих числах, що не перевищують. Тоді виконуються такі рівності (кожну із яких називають теоремою Мертенса):

$(1)\sum _{n⩽x}\frac{\mathrm{\Lambda }(n)}{n}=\log x+O(1).$

Тут $\mathrm{\Lambda }(n)$ є функцією фон Мангольдта.

$(2)\sum _{p⩽x}\frac{\log p}{p}=\log x+O(1).$

Більш того $\sum _{p⩽n}\frac{\log p}{p}-\log n$ для будь-якого натурального числа $n$ за абсолютним значенням не перевищує 2.

$(3)\underset{1}{\overset{x}{\int }}\frac{\psi (t)}{t^2}\mathrm{d}t=\log x+O(1).$

Тут $\psi (x)={\sum }_{n=1}^x\mathrm{\Lambda }(n)=\sum _{p^k⩽x}\log (p)$ є функцією Чебишева.

$(4)\sum _{p⩽x}\frac{1}{p}=\log \log x+M+O\left(\frac{1}{\log x}\right).$

Константа $M$ називається константою Майсселя — Мертенса і вона є рівною:

$M=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\sum _{p\in \mathbb{P}}^n\frac{1}{p}-\log \log n)=\gamma +\sum _{p\in \mathbb{P}}[\log (1-\frac{1}{p})+\frac{1}{p}]=\gamma +\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mu (k)}{k}\log \zeta (k).$

де $\gamma =0,5772156649...$ є константою Ейлера — Маскероні.

$(5)\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\log x\prod _{p⩽x}(1-\frac{1}{p})=e^{-\gamma }.$

Література

• Шаблон:Чандрасекхаран.Введение в аналитическую теорию чисел
• Apostol Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929, Zbl 0335.10001