Дотичний простір Зариського

Дотичний простір Зариського — загальне означення в алгебраїчній геометрії, що дозволяє узагальнити дотичний простір в точці алгебраїчного многовида на більш абстрактні об'єкти, зокрема квазіпроективні многовиди, абстрактні алгебричні многовиди і схеми. Дотичні простори Зариського визначені на довільних локальних кільцях і для їх означення використовуються не методи диференціальної геометрії, а тільки методи абстрактної, і, в більш конкретних ситуаціях, лінійної алгебри.

Дотичні простори афінних многовидів і мотивація загального означення

Дотичний простір в точці x афінного многовида X можна означити як сукупність прямих, що проходять через x і є дотичними до $X\subset A^n.$ На афінному просторі $A^n$ можна ввести координати так, що точка x буде на початку координат. Тоді рівняння прямих, що проходять через x = 0 можна записати як $L=\{ta,t\in K\},$ де K алгебрично замкнуте поле над яким визначені всі простори і многовиди, а $a\in A^n$ — деяка точка афінного простору, яка визначає дану пряму.

Нехай X заданий системою рівнянь $F_1=...=F_m=0,$ де многочлени у цих рівняннях породжують ідеал многовида X.

Множина перетинів прямої L з многовидом X визначиться тоді рівняннями $F_1(ta)=...=F_m(ta)=0.$ Значення параметра t, що визначають точки перетину прямої з многовидом є коренями найбільшого спільного дільника $F_1(ta),...,F_m(ta)$ як многочленів від t. Згідно з означень t = 0 є одним з коренів.

Пряма L називається дотичною до многовида X, якщо кратність кореня t = 0 у попередніх рівняннях є більшою 1. Множина всіх точок $y\in A^n,$ що належать деяким дотичним прямим до точки x називається дотичним простором до многовида X у точці x.

Дотичний простір можна описати також через систему лінійних рівнянь. Для цього треба ввести оператор ${\mathrm{d}}_{x}F=\sum _{i=1}^n\frac{\partial F}{\partial T_i}(x)(T_i-x_i)$, який є оператором диференціювання, що кожному многочлену від змінних $T_i$ присвоює лінійну частину розкладу в ряд Тейлора в точці $x=(x_1,...,x_n).$ Тоді з означень дотичного простору в точці x, легко отримати, що цей простір є множиною точок $y\in A^n,$ що задовольняють систему рівнянь:

${\mathrm{d}}_x{F}_1(y)=...={\mathrm{d}}_x{F}_m(y)=0.$

Для довільного многочлена ${\mathrm{d}}_{x}F$ можна вважати лінійною формою на $A^n$. Окрім того, якщо многочлен $F$ належить ідеалу, що задає многовид X, то, як неважко перевірити, значення ${\mathrm{d}}_{x}F$ на всіх точках дотичного простору до многовида X у точці x є рівним нулю. Тому ${\mathrm{d}}_x$ задає відображення з кільця $K[X]$ (координатного кільця) многовида X у множину всіх лінійних форм на дотичному просторі у точці x. Окрім того це відображення можна обмежити на максимальний ідеал $𝔪$ — множину всіх елементів $K[X]$, що не рівні 0 в точці x. Це відображення буде сюр'єктивним і його ядро складатиметься з елементів, запис яких в ряд Тейлора не матиме лінійних доданків. Всі такі елементи, очевидно, містяться в ідеалі ${𝔪}^2$ і тому ${\mathrm{d}}_x$ визначає ізоморфізм між $𝔪/{𝔪}^2$ і множиною лінійних форм на дотичному просторі (тобто кодотичним простором). Це дозволяє ввести поняття дотичного і кодотичного просторів інваріантно лише в алгебричних термінах за допомогою простору $𝔪/{𝔪}^2$.

Окрім того якщо $R:=K[X{]}_{𝔪}$ — локалізація кільця $K[X]$ по максимальному ідеалу $𝔪$ і $\overline{𝔪}=𝔪K[X{]}_{𝔪}$ — максимальний ідеал кільця R, то узагальнивши оператор диференціювання як ${\mathrm{d}}_x\left(\frac{F}{G}\right)=\frac{G(x){\mathrm{d}}_{x}F-F(x){\mathrm{d}}_{x}G}{G^2(x)},G(x)\ne 0,$ теж отримуємо ізоморфізм між $\overline{𝔪}/{\overline{𝔪}}^2$ і кодотичним простором. Відповідно кодотичний простір можна ідентифікувати з $\overline{𝔪}/{\overline{𝔪}}^2$ і узагальнити це означення для більш широкого класу об'єктів. Саме такі означення дотичного простору і дав Оскар Зариський.

Означення

Кодотичний простір локального кільця $R$ з максимальним ідеалом m за означенням є векторним простором

$𝔪/{𝔪}^2$

де m² — добуток ідеалів. Кодотичний простір є векторним простором над полем $k=R/𝔪$. Векторний простір, двоїстий до нього, називається дотичним простором R.

Дотичні і кодотичні простори кільця $R$ позначаються ${\mathrm{\Theta }}_R$ і ${\mathrm{\Theta }}_R^{*}$ відповідно.

Морфізми дотичних і кодотичних просторів

Якщо $R,S$ — локальні нетерові кільця з максимальними ідеалами $𝔪,𝔫$ і $\phi :R\to S$ — локальний гомоморфізм кілець (тобто $\phi (𝔪)\subset 𝔫$), то цей гомоморфізм породжує гомоморфізм полів $\overline{\phi }:R/𝔪\to S/𝔫$ і гомоморфізм кодотичних просторів ${\mathrm{d}}^{*}\phi :{\mathrm{\Theta }}_R^{*}\to {\mathrm{\Theta }}_S^{*}.$ Якщо також $\overline{\phi }$ є ізоморфізмом полів, то також він породжує гомоморфізм дотичних просторів $\mathrm{d}\phi :{\mathrm{\Theta }}_S\to {\mathrm{\Theta }}_R.$

Зокрема гомоморфізм дотичних просторів є визначеним, якщо $R,S$ — локальні кільця в точках алгебричних многовидів і гомоморфізм між ними породжується морфізмом $f$ відповідних алгебричних многовидів, що переводить одну точку в іншу. Тоді морфізми дотичних і кодотичних просторів в точці p також позначаються ${\mathrm{d}}_{p}f$ і ${\mathrm{d}}_p^{*}f.$

Означення за допомогою диференцівань

Якщо кільце $R$ містить підполе представників поля $k=R/𝔪$, тобто підполе $k^{\prime }\subset R,$ таке що $k=\{\lambda +𝔪|\lambda \in k^{\prime }\}$, то ототожнюючи $k$ і $k^{\prime }$ можна записати, що $R=k\oplus 𝔪$, тобто кожен елемент $a\in R$ може бути однозначно записаним як $a=a_1+m_a,a_1\in k,m_a\in 𝔪.$

Якщо позначити $\mathrm{d}a$ клас елемента $m_a$ у кодотичному просторі $𝔪/{𝔪}^2,$ то відображення $\mathrm{d}$ є диференціальним оператором, тобто задовольняє умови $\mathrm{d}(a+b)=\mathrm{d}a+\mathrm{d}b,\mathrm{d}(\lambda a)=\lambda \mathrm{d}a,\lambda \in k$ і $\mathrm{d}(ab)=\mathrm{d}(a)b+a\mathrm{d}(b).$

Оскільки елементи дотичного простору можна інтерпретувати як лінійні форми на кодотичному просторі то для $\nu \in {\mathrm{\Theta }}_R$ відображення $D_{\nu }:a\to \nu (\mathrm{da})$є диференціюванням з кільця $R$ в поле $k$. До того ж кожне диференціювання з кільця $R$ в поле $k$ породжується деяким елементом дотичного простору і до того ж тільки одним. Таким чином елементи дтичного простору можна ідентифікувати з диференціюваннями з кільця $R$ в поле $k$, тобто для цього випадку дати еквівалентне означення дотичного простору:

Якщо кільце $R$ містить підполе представників поля $k=R/𝔪$ то дотичний простір за означенням це множина усіх диференціювань з кільця $R$ в поле $k$.

Дотичний простір до схеми в точці

Дотичний простір $T_P(X)$ і кодотичний простір $T_P^{*}(X)$ до схеми x в точці P це (ко)дотичний простір локального кільця ${𝒪}_{X,P}$. Завдяки функторіальності Spec, природне відображення факторизації $f:R\to R/I$ індукує гомоморфізм $g:{𝒪}_{X,f^{-1}(P)}\to {𝒪}_{Y,P}$, де x = Spec(R), P — точка Y = Spec(R/I). Цей гомоморфізм часто використовують для вкладення $T_P(Y)$ в $T_{f^{-1}P}(X)$ (наприклад , дотичний простір многовида, вкладеного в афінний простір, природним чином вкладається в дотичний простір афінного простору). Так як морфізм полів є ін'єктивним, сюр'єкція полів часток, індукована g, є ізоморфізмом. Таким чином, g індукує морфізм k дотичних просторів, оскільки

${𝔪}_P/{𝔪}_P^2$

$\cong ({𝔪}_{f^{-1}P}/I)/(({𝔪}_{f^{-1}P}^2+I)/I)$

$\cong {𝔪}_{f^{-1}P}/({𝔪}_{f^{-1}P}^2+I)$

$\cong ({𝔪}_{f^{-1}P}/{𝔪}_{f^{-1}P}^2)/\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(k).$

Так як k є сюр'єктивним (є гомоморфізмом факторизації), то двоїсте лінійне відображення $k^{*}:T_P(Y)\to T_{f^{-1}P}(X)$ ін'єкцією (є вкладенням).

Аналітичний випадок

Якщо V — підмноговид n-вимірного векторного простору, заданий ідеалом I (ідеалом функцій, рівних нулю на цьому многовиді), кільцю R відповідає кільце F_n/I, де F_n — кільце ростків гладких/аналітичних/голоморфних функцій на векторному просторі, I — ростки функцій з ідеалу. Тоді дотичний простір Зариського в точці x —

${𝔪}_x/(I+{𝔪}_x^2),$

де ${𝔪}_x$ — ідеал функцій відповідного типу, рівних нулю в точці x.

Властивості

Якщо R — нетерове локальне кільце, розмірність дотичного простору не менша розмірності R:

$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}𝔪/{𝔪}^2⩾\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}R.$

R називається регулярним кільцем, якщо виконується рівність. Якщо локальне кільце многовида V в точці x є регулярним, кажуть, що x — регулярна точка многовида. В іншому випадку x називається особливою точкою.

Існує інтерпретація дотичного простору за допомогою гомоморфізмів в кільце дуальних чисел $k[t]/(t^2).$ Мовою схем, морфізм з Spec k[t]/t² в схему x над k відповідає вибору раціональної точки x ∈ X(k) (точки з координатами з поля k) і елемента дотичного простору в точці x. Таким чином, ці морфізми має сенс називати дотичними векторами.

Література

• David Eisenbud; Joe Harris (1998). The Geometry of Schemes. Springer-Verlag. — ISBN 0-387-98637-5.
• Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. — М.: Мир, 1981.
• Шафаревич И. Р. Основы алгебраической геометрии. — т.1-2, Москва: Наука, 1988. Шаблон:Ref-ru

Посилання

• Юрій Дрозд. Вступ до алгебричної геометрії Шаблон:Webarchive
• Zariski tangent space Шаблон:Webarchive. V.I. Danilov, Encyclopedia of Mathematics.