Прямокутна функція

Прямокутна Функція

Прямокутна Функція, одиничний імпульс, прямокутний імпульс, або прямокутне вікно — кусково-стала функція, що визначається як:

$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(t)=\sqcap (t)=\{\begin{array}{cc}0,& |t|>\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2},& |t|=\frac{1}{2}\\ 1,& |t|<\frac{1}{2}\end{array}$

Іноді значення функції в точках $\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(\pm \frac{1}{2})$ може визначатися як 0 або 1.

Інше визначення Функції через Функцію Гевісайда, $\theta (t)$:

$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\left(\frac{t}{\tau }\right)=\theta (t+\frac{\tau }{2})-\theta (t-\frac{\tau }{2})$

або по іншому:

$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(t)=\theta (t+\frac{1}{2})-\theta (t-\frac{1}{2})$

Властивості

• Інтеграл прямокутної Функції:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(t)dt=1$

• Похідна прямокутної функції рівна 0, окрім точок $(\pm \frac{1}{2})$, де її не існує в класичному розумінні.

Якщо розглядати узагальнені функції по похідна прямокутної функції запишеться через дельта-функцію Дірака:

$\mathrm{rect}{}^{\prime }(t)=\delta (t+\frac{1}{2})-\delta (t-\frac{1}{2})$

• Перетворення Фур'є прямокутної Функції

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(t)\cdot e^{-i2\pi ft}dt=\frac{\sin (\pi f)}{\pi f}=\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}(\pi f),$

для звичайної частоти f, і

$\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(t)\cdot e^{-i\omega t}dt=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\cdot \frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\omega /2)}{\omega /2}=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}(\omega /2),$

для кутової частоти ω, де у формулах є ненормалізована версія функції sinc.

дійсно

$\begin{array}{cc}ℱ(\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t})(f)& =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}2\pi ft}\mathrm{d}t\\ & =\underset{-1/2}{\overset{1/2}{\int }}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}2\pi ft}\mathrm{d}t\\ & =\frac{1}{-2\mathrm{i}\pi f}{\left[{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}2\pi ft}\right]}_{-1/2}^{1/2}\\ & =\frac{1}{2\mathrm{i}\pi f}({\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\pi f}-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\pi f})\\ & =\frac{1}{\pi f}\sin \left(\pi f\right)\\ & =\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}\left(\pi f\right).\end{array}$

• Навпаки для нормованої функції sinc перетворення Фур'є рівне прямокутній функції:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}(t)e^{-2\pi ift}dt=\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(f)$,

• Прямокутна функція рівна границі раціональних функції:

$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(t)=\underset{n\to \mathrm{\infty },n\in \mathbb{(}Z)}{\lim }\frac{1}{(2t{)}^{2n}+1}$

• Трикутна функція може бути визначена як згортка двох прямокутних Функцій:

$\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{i}(t)=\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(t)*\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(t)$

Використання в теорії ймовірностей

Шаблон:Main Якщо розглядати прямокутну функцію як функцію густини ймовірності, то вона задає окремий випадок неперервного рівномірного розподілу з $a,b=-\frac{1}{2},\frac{1}{2}$. Характеристична функція для неї рівна:

$\phi (k)=\frac{\sin (k/2)}{k/2},$

а твірна функція моментів:

$M(k)=\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(k/2)}{k/2},$

де $\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(t)$ — гіперболічний синус.

Посилання

• Шаблон:MathWorld

Див. також

• Перетворення Фур'є
• Трикутна функція
• Функція sinc
• Функція Гевісайда