Простір Шварца

Простір Шварца — простір функцій, всі похідні яких швидко спадають до нуля з ростом аргумента. Названий Александром Гротендіком в честь Лорана Шварца. Функції з цього простору часто називають функціями Шварца. Позначається найчастіше буквою $S$ або $𝒮$.

Формально кажучи, складається з таких гладких функцій $f(x)$, що $x^m{\partial }^{k}f(x)\to 0$ при $|x|\to \mathrm{\infty }$ швидше, ніж $\frac{1}{|x{|}^{\alpha }}$ при довільному додатному $\alpha$.

Важливою властивістю простору Шварца є те, що перетворення Фур'є є автоморфізмом цього простору. Будь-яку функцію з цього простору перетворення Фур'є переводить у деяку функцію з цього ж простору, і навпаки — кожна з функцій з простору Шварца є прообразом Фур'є деякої функції з цього простору.

Даний простір використовується, наприклад, як простір основних функцій при означенні перетворення Фур'є узагальнених функцій (узагальнені функції над $S$ часто називають узагальненими функціями повільного зростання) і відіграє досить важливу роль у функціональному аналізі та теорії рівнянь з частинними похідними.

Означення

Нехай $C^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^n)$ — простір нескінченно-диференційовних функцій $f(x):{ℝ}^n\to ℂ$, а

$C_D^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^n),D\subset {ℝ}^n$ — простір нескінченно-диференційовних функцій з компактним носієм (тут $D$ — деяка компактна множина в ${ℝ}^n$).

Для довільних мультиіндексів $m,k$ визначимо систему норм $\Vert \cdot {\Vert }_{m,k}$ наступним чином:

$\Vert f{\Vert }_{m,k}=\underset{x\in {ℝ}^n}{\sup }|x^m{\partial }^{k}f(x)|,f(x)\in C^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^n).$

Простором Шварца або простором швидкоспадних функцій на ${ℝ}^n$ є такий функціональний простір:

$S\left({ℝ}^n\right)=\{f\in C^{\mathrm{\infty }}({𝐑}^n)\mid \Vert f{\Vert }_{m,k}<+\mathrm{\infty }\mathrm{\forall }m,k\}.$

З означення простору випливає, що виконуються нерівності

$\underset{x\in {ℝ}^n}{\sup }|x^m{\partial }^{k}f(x)|⩽C_{mk},$

де $C_{mk}$ — деякі подвійна послідовність додатних дійсних чисел, причому на поведінку цієї послідовності не накладається ніяких обмежень.

Збіжність в просторі $S$ визначається наступним чином: послідовність функцій $\{{\phi }_s(x){\}}_{s=1}^{\mathrm{\infty }}$ збігається до функції $\phi (x)$, якщо

а) для довільного $q=0,1,2,\dots$ послідовність похідних $\{{\phi }_s^{(q)}(x)\}$ збігається рівномірно до ${\phi }^{(q)}(x)$ в довільній обмеженій області;

б) для довільних $m,k$ виконуються оцінки

$\underset{x\in {ℝ}^n}{\sup }|x^m{\partial }^k{\phi }_s(x)|⩽C_{mk},$ де сталі $C_{mk}$ не залежать від $s$.

Приклади

Двовимірна функція Гауса є прикладом швидкоспадної функції

• функція типу функції Гауса

$f(x)=x^a{e}^{-(bx{)}^2},a,b\in ℝ;$

• як узагальнення попереднього прикладу — всі функції виду

$f(x)=P(x)e^{-b{x}^{\alpha }},b,\alpha >0,$

де $P(x)$ — довільний многочлен;

• довільна гладка функція з компактним носієм, тобто функція з $C_D^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^n).$

Властивості

• за означенням функції з простіру $S\left({ℝ}^n\right)$ є підмножиною функцій із $C^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^n),S\left({ℝ}^n\right)\subset C^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^n)$;

• функції з $C_D^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^n)$ утворюють щільну множину в $S\left({ℝ}^n\right)$;

• лінійна комбінація, поточковий добуток довільних двох функцій із $S({ℝ}^n)$ та зсув по аргументу не виводять за межі простору $S({ℝ}^n)$

$f,g\in S({ℝ}^n),\mathrm{\forall }\alpha ,\beta \in ℝ,\mathrm{\forall }h\in {ℝ}^n:\alpha f(x)+\beta g(x),f(x)\cdot g(x),f(x+h)\in S({ℝ}^n);$

• простір Шварца є простором Фреше — повним метризовним локально випуклим простором

• $S({ℝ}^n)\subset$ $L^p({ℝ}^n)$ для довільного $p,1⩽p⩽+\mathrm{\infty }$;

• перетворення Фур'є є автоморфізмом $S({ℝ}^n)\to S({ℝ}^n);$

• довільна функція із $S(ℝ)$ є рівномірно неперервною на $ℝ.$

Простори типу S

З означення простору Шварца випливає, що виконуються нерівності

$\underset{x\in {ℝ}^n}{\sup }|x^m{\partial }^{k}f(x)|⩽C_{mk}.$

Якщо числа $C_{mk}$ спеціальним чином залежать від мультиіндексів $m$ та $k,$ то виділяють такі простори типу простору Шварца:

• Простір $S_{\alpha },\alpha ⩾0,$ складається з таких нескінченно диференційовних функцій $f(x)$, для яких виконуються нерівності

$\Vert f{\Vert }_{m,k}=\underset{x\in {ℝ}^n}{\sup }|x^m{\partial }^{k}f(x)|⩽C_k{B}^m{m}^{m\beta },f\in C^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^n)$

де сталі $C_k,A$ залежать від функції $f$.

• Простір $S^{\beta },\beta ⩾0,$ складається з таких нескінченно диференційовних функцій $f(x)$, які задовольняють нерівності

$\Vert f{\Vert }_{m,k}⩽C_m{A}^k{k}^{k\alpha },$

де сталі $C_m,B$ залежать від функції $f$.

• Простір $S_{\alpha }^{\beta },\alpha ,\beta ⩾0,$

складається з таких нескінченно диференційовних функцій $f(x)$, які задовольняють нерівності

$\Vert f{\Vert }_{m,k}⩽C{A}^k{B}^m{k}^{k\alpha }{m}^{m\beta },$

де сталі $C,A,B$ залежать від функції $f$.

Простори $S_{\alpha },S^{\beta },S$ можна вважати граничними випадками простору $S_{\alpha }^{\beta }$, а саме

$S_{\alpha }=S_{\alpha }^{\mathrm{\infty }},S^{\beta }=S_{\mathrm{\infty }}^{\beta },S=S_{\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}.$

Література

• Шаблон:Колмогоров.Фомин
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Посилання

• Шаблон:MathWorld