Простір основних функцій

Простір основних функцій — структура, за допомогою якої будується простір узагальнених функцій (простір лінійних функціоналів на просторі основних функцій).

Узагальнені функції мають велике значення в математичній фізиці, а простір основних функцій використовується як основа для побудови узагальнених функцій (формально це область визначення відповідних узагальнених функцій). Диференціальні рівняння розглядаються у так званому слабкому сенсі, тобто розглядається не рівність у кожній точці, а рівність відповідних регулярних лінійних функціоналів на відповідному просторі основних функцій.

Зазвичай як простір основних функцій $𝒟(\mathrm{\Omega })$ вибирається простір нескінченно диференційовних функцій з компактним носієм (так званих фінітних функцій) $C_0^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })$, на якому вводиться така збіжність (а значить і топологія): послідовність ${\left\{u_j\right\}}_{j=1}^{\mathrm{\infty }}\subset 𝒟(\mathrm{\Omega })$ збігається до $u\in 𝒟(\mathrm{\Omega })$, якщо:

1. Функції $u_j$ рівномірно фінітні, тобто $\mathrm{\exists }K$ — компакт у $\mathrm{\Omega }$ і в том числі $\mathrm{\forall }j\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}{u}_j\subset K$.
2. $\mathrm{\forall }\alpha D^{\alpha }{u}_j(x)\to D^{\alpha }u(x)$ рівномірно за $x$.

Тут $\mathrm{\Omega }$ — обмежена область у ${ℝ}^n$.

Джерела

• Шаблон:Книга