Призма (математика)

Шаблон:Otheruses При́зма (Шаблон:Lang-grc — «відпиляне»; від πρίζω — «пиляю») — стереометрична фігура, многогранник (призматоїд), у якого дві грані — рівні Шаблон:Mvar-кутники, розташовані в паралельних площинах, а решта Шаблон:Mvar граней — паралелограми. Ці паралелограми називаються бічними гранями призми, а інші два Шаблон:Mvar-кутники називаються її основами.

Многокутник, що лежить в основі, визначає назву призми: трикутник — трикутна призма, чотирикутник — чотирикутна; п'ятикутник — п'ятикутна (пентапризма) і т. д.

Призма є частковим випадком циліндра в загальному сенсі (некругового).

Призма називається прямою, якщо її бічні ребра перпендикулярні до основи. Інші призми — похилі.

Призма називається правильною, якщо вона пряма і її основи — правильні многокутники.

Висота призми — відстань між площинами її основ.

Види призм

Призма, основою якої є паралелограм, називається паралелепіпедом.

Пряма призма — це призма, у якої бічні ребра перпендикулярні до площини основи, звідки випливає, що всі бічні грані є прямокутниками Шаблон:Sfn. Інші призми називаються похилими.

Пряма прямокутна призма називається прямокутним паралелепіпедом. Символ Шлефлі такої призми— { }×{ }×{ }.

Правильна призма — це пряма призма, основою якої є правильний многокутник. Бічні грані правильної призми — рівні прямокутники.

Правильна призма, бічні грані якої є квадратами (висота якої дорівнює стороні основи), є напівправильним многогранником. Символ Шлефлі такої призми — t{2,p}.

Прямі призми з правильними основами й однаковими довжинами ребер утворюють одну з двох нескінченних послідовностей напівправильних многогранників, іншу послідовність утворюють антипризми

Зрізана призма — це призма з непаралельними основамиШаблон:Sfn.

Елементи призми

Назва	Визначення	Позначення на кресленні	Креслення
Основи	Дві грані, є конгруентними многокутниками, що лежать у паралельних одна одній площинах.	$A B C D E$ , $K L M N P$
Бічні грані	Усі грані, крім основ. Кожна бічна грань обов'язково є паралелограмом.	$A B L K$ , $B C M L$ , $C D N M$ , $D E P N$ , $E A K P$
Бічна поверхня	Об'єднання бічних граней.
Повна поверхня	Об'єднання основ і бічної поверхні.
Бічні ребра	Спільні сторони бічних граней.	$A K$ , $B L$ , $C M$ , $D N$ , $E P$
Висота	Відрізок, що з'єднує площини, у яких лежать основи призми і перпендикулярний до цих площин.	$K R$
Діагональ	Відрізок, що з'єднує дві вершини призми, які не належать одній грані.	$B P$
Діагональна площина	Площина, що проходить через бічне ребро призми і діагональ основи.	$E B P$
Діагональний переріз	Перетин призми і діагональної площини. В перерізі утворюється паралелограм, зокрема його часткові випадки — ромб, прямокутник, квадрат.	$E B L P$
Перпендикулярний (ортогональний) переріз	Переріз призми і площини, перпендикулярної до її бічного ребра.

Властивості призми

Основи призми є рівними многокутниками.
Бічні грані призми є паралелограмами.
Бічні ребра призми паралельні і рівні.
Об'єм призми дорівнює добутку її висоти на площу основи:

V = S \cdot h

Об'єм призми з правильною n-кутною основою дорівнює

V = \frac{n}{4} h s^{2} c t g \frac{π}{n}

(тут s — довжина сторони многокутника).

Площа повної поверхні призми дорівнює сумі площі її бічної поверхні і подвоєної площі основи.
Площа бічної поверхні довільної призми $S = P \cdot l$ , де $P$ — периметр перпендикулярного перерізу, $l$ — довжина бічного ребра.
Площа бічної поверхні прямої призми $S = P \cdot h$ , де $P$ — периметр основи призми, $h$ — висота призми.
Площа бічної поверхні прямої призми з правильною n-кутною основою дорівнює

A = \frac{n}{2} s^{2} c t g \frac{π}{n} + n s h .

Перпендикулярний переріз перпендикулярний до всіх бічних ребер призми.
Кути перпендикулярного перерізу — це лінійні кути двогранних кутів при відповідних бічних ребрах.
Перпендикулярний переріз перпендикулярний до всіх бічних граней.
Двоїстим многогранником прямої призми є біпіраміда.

Діаграми Шлегеля

Трикутна призма	4-кутна призма	5-кутна призма	6-кутна призма	7-кутна призма	8-кутна призма

Симетрія

Групою симетрії прямої n-кутної призми з правильною основою є група D_nh порядку 4n, за винятком куба, який має групу симетрії Шаблон:Нп порядку 48, що містить три версії D_4h в якості підгруп. Шаблон:Нп є D_n 2n, за винятком випадку куба, для якого групою обертань є група Шаблон:Нп порядку 24, що має три версії D₄ в якості підгруп.

Група симетрії D_nh включає центральну симетрію в тому і тільки в тому випадку, коли n парне.

Об'єм

Об'єм призми дорівнює добутку площі основи на висоту. Таким чином об'єм дорівнює:

V = S \cdot h

де Шаблон:Mvar — площа основи, Шаблон:Mvar — висота. Об'єм правильної призми в основі якої є правильний Шаблон:Mvar-кутник дорівнює:

V = \frac{n}{4} h s^{2} ctg \frac{π}{n} .

Площа поверхні

Площа бічної поверхні призми дорівнює $S = P H$ , де Шаблон:Mvar — периметр основи, Шаблон:Mvar — висота.

Площа поверхні призми дорівнює $S = 2 S + P H$ , де Шаблон:Mvar — площа основи, Шаблон:Mvar — висота, Шаблон:Mvar — периметр основи.

Площа поверхні правильної призми в основі якої є правильний Шаблон:Mvar-кутник дорівнює:

A = \frac{n}{2} S^{2} ctg \frac{π}{n} + n S h .

Призматичні многогранники

Призматичний многогранник — це узагальнення призми в просторах розмірності 4 і вище. n-вимірний призматичний многогранник конструюється з двох (Шаблон:Nowrap)-вимірних многогранників, перенесених у наступну розмірність.

Елементи призматичного n-вимірного многогранника подвоюються з елементів (Шаблон:Nowrap)-вимірного многогранника, потім створюються нові елементи наступного рівня.

Візьмемо n-вимірний многогранник з елементами $f_{i}$ (i-вимірна грань, i = 0, …, n). Призматичний ( $n + 1$ )-вимірний многогранник буде мати $2 f_{i} + f_{- 1}$ елементів розмірності i (при $f_{- 1} = 0$ , $f_{n} = 1$ ).

За розмірностями:

Беремо многокутник з n вершинами і n сторонами. Отримаємо призму з 2n вершинами, 3n ребрами і $2 + n$ гранями.
Беремо многогранник з v вершинами, e ребрами і f гранями. Отримуємо (4-вимірну) призму з 2v вершинами, $2 e + v$ ребрами, $2 f + e$ гранями і $2 + f$ комірками.
Беремо 4-вимірний многогранник з v вершинами, e ребрами, f гранями і c комірками. Отримуємо (5-вимірну) призму з 2v вершинами, $2 e + v$ ребрами, $2 f + e$ (2-вимірними) гранями, $2 c + f$ комірками $2 + c$ гіперкомірками.

Однорідні призматичні многогранники

Шаблон:Див. також Правильний n-многогранник, представлений символом Шлефлі Шаблон:Nowrap t}, може утворити однорідний призматичний многогранник розмірності (Шаблон:Nowrap), представлений прямим добутком двох символів Шлефлі: Шаблон:Nowrap t}×{}.

За розмірностями:

Призма з 0-вимірного многогранника — це відрізок, що подається порожнім символом Шлефлі {}.
Призма з 1-вимірного многогранника — це прямокутник, отриманий з двох відрізків. Ця призма подається як добуток символів Шлефлі {}×{}. Якщо призма є квадратом, запис можна скоротити: Шаблон:Nowrap
- Приклад: Квадрат, {}×{}, два паралельні відрізки, з'єднані двома іншими відрізками, сторонами.
багатокутна призма — це 3-вимірна призма, отримана з двох многокутників (один отриманий паралельним перенесенням іншого), які пов'язані прямокутниками. З правильного многокутника {p} можна отримати однорідну n-кутну призму, подану добутком {p}×{}. Якщо Шаблон:Nowrap, призма стає кубом: Шаблон:Nowrap
- Приклад: п'ятикутна призма, {5}×{}, два паралельні п'ятикутники пов'язані п'ятьма прямокутними сторонами.
4-вимірна призма, отримана з двох многогранників (один отримано паралельним перенесенням іншого), зв'язаних 3-вимірними призматичними комірками. З правильного многогранника {p, q} можна отримати однорідну 4-вимірну призму, подану добутком {p, q}×{}. Якщо многогранник є кубом і сторони призми теж куби, призма перетворюється на тесеракт: {4, 3}×{} = Шаблон:Nowrap
- Приклад: Шаблон:Нп, {5, 3}×{}, два паралельні додекаедри, сполучені 12 п'ятикутними призмами (сторонами).
…

Призматичні многогранники більш високих розмірностей також існують як прямі добутки двох будь-яких многогранників. Розмірність призматичного многогранника дорівнює добутку розмірностей елементів добутку. Перший приклад такого добутку існує в 4-вимірному просторі і називається Шаблон:Нп, які отримуються, як добуток двох многокутників. Правильні дуопризми подаються символом {p}×{q}.

Скручена призма і антипризма

Скручена призма — це неопуклий призматичний многогранник, отриманий з однорідної q-кутної призми шляхом поділу бічних граней діагоналлю і обертання верхньої основи, зазвичай на кут $\frac{π}{q}$ радіан ( $\frac{180}{q}$ градусів), в напрямку, за якого сторони стають увігнутимиШаблон:Sfn^[1].

Скручена призма не може бути розбита на тетраедри без уведення нових вершин. Найпростіший приклад з трикутними основами називається Шаблон:Нп.

Скручена призма топологічно ідентична антипризмі, але має половину симетрій: D_n, [n,2]⁺, порядку 2n. Цю призму можна розглядати як опуклу антипризму, у якої видалено тетраедри між парами трикутників.

Трикутна	Чотирикутні		12-кутна
Многогранник Шенхардта	Скручена квадратна антипризма	Квадратна антипризма	Скручена дванадцятикутна антипризма

Пов'язані многогранники і мозаїки

Родина правильних призм
Конфігурація	3.4.4	4.4.4	5.4.4	6.4.4	Шаблон:Нп	Шаблон:Нп	9.4.4	10.4.4	Одинадцятикутна призма\|11.4.4	Шаблон:Нп	17.4.4	∞.4.4
Многокутник
Мозаїка

Родина опуклих куполів
n	2	3	4	5	6
Назва	{2}	t{2}	{3}	t{3}	{4}	t{4}	{5}	t{5}	{6}	t{6}
Купол	Діагональний купол	Трискатний купол	Чотирискатний купол	Шаблон:Нп	Шестискатний купол (плоский)
Пов'язані однорідні многогранники	Трикутна призма	Кубооктаедр	Ромбокубооктаедр	Ромбоікосододекаедр	Шаблон:Нп

Симетрії

Призми топологічно є частиною послідовності однорідних зрізаних многогранників з конфігураціями вершин (3.2 n.2n) і [n,3].

Варіанти симетрії *n32 зрізаних мозаїк: 3.2n.2n
Симетрія *n32 [n,3]	Сферична				Шаблон:Нп	Компактна гіперболічна		Параком- пактна	Некомпактна гіперболічна
Симетрія *n32 [n,3]	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]…	*∞32 [∞,3]	[12i,3]	[9i,3]	[6i,3]
Зрізані фігури
Конфігурація	3.4.4	3.6.6	3.8.8	3.10.10	Шаблон:Нп	Шаблон:Нп	Шаблон:Нп	Шаблон:Нп	3.24 i.24i	3.18 i.18i	3.12 i.12i
Розділені фігури
Конфігурація	V3.4.4	V3.6.6	V3.8.8	V3.10.10	Шаблон:Нп	Шаблон:Нп	V3.16.16	V3.∞.∞

Призми топологічно є частиною послідовності скошених многогранників з вершинними фігурами (3.4.n.4) і мозаїк на гіперболічній площині. Ці вершиннотранзитивні фігури мають (*n32) дзеркальну Шаблон:Нп.

Варіанти симетрії *n42 розширених мозаїк: 3.4.n.4
Симетрія *n32 [n,3]	Сферична				Евклідова	Компактна гіперболічна		Паракомпактна
Симетрія *n32 [n,3]	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]…	*∞32 [∞,3]
Фігура
Конфігурація	3.4.2.4	3.4.3.4	3.4.4.4	3.4.5.4	Шаблон:Iw	Шаблон:Iw	Шаблон:Iw	Шаблон:Iw

З'єднання многогранників

Шаблон:Див. також Існує 4 однорідні з'єднання трикутних призм:

Шаблон:Нп, Шаблон:Нп, Шаблон:Нп, Шаблон:Нп.

Стільники

Існує 9 однорідних стільників, що включають комірки у вигляді трикутних призм:

Шаблон:Нп,
Шаблон:Нп,
Шаблон:Нп,
Шаблон:Нп,
Шаблон:Нп,
Шаблон:Нп,
зрізаний шестикутний призматичний стільник,
Шаблон:Нп,
Шаблон:Нп,
Шаблон:Нп.

Пов'язані многогранники

Трикутна призма є першим многогранником в ряду Шаблон:Нп. Кожен наступний однорідний многогранник містить в якості вершинної фігури попередній многогранник. Шаблон:Нп ідентифікував цю серію в 1900 як таку, що містить всі фасети правильних багатовимірних многогранників, всі симплекси і ортоплекси (правильні трикутники і квадрати для випадку трикутних призм). У нотації Коксетера трикутна призма задається символом −1₂₁.

Шаблон:Iw у просторі розмірністю n
Простір	Скінченний						Евклідів	Гіперболічний
Шаблон:Нп	3	4	5	6	7	8	9	10
Група Коксетера	E₃=A₂A₁	E₄=A₄	E₅=D₅	E₆	Шаблон:Нп\|	E₈	E₉ = Ẽ₈ = E₈⁺	E₁₀ = T₈ = E₈⁺⁺
Діаграма Коксетера
Шаблон:Нп	[3^−1,2,1]	[3^0,2,1]	[3^1,2,1]	[3^2,2,1]	[3^3,2,1]	[3^4,2,1]	[3^5,2,1]	[3^6,2,1]
Порядок	12	120	192	51 840	2 903 040	696 729 600	∞
Граф							-	-
Позначення	−1₂₁	0₂₁	1₂₁	Шаблон:Нп	Шаблон:Нп	Шаблон:Нп	5₂₁	6₂₁

Чотиривимірний простір

Трикутна призма є коміркою у багатьох чотиривимірних Шаблон:Нп, включно з:

Шаблон:Нп Шаблон:ДКД	Шаблон:Нп Шаблон:ДКД	Шаблон:Нп Шаблон:ДКД	Шаблон:Нп Шаблон:ДКД	Шаблон:Нп Шаблон:ДКД	Шаблон:Нп Шаблон:ДКД

Шаблон:Нп Шаблон:ДКД	Шаблон:Нп Шаблон:ДКД	Шаблон:Нп Шаблон:ДКД	Шаблон:Нп Шаблон:ДКД	Шаблон:Нп Шаблон:ДКД

Шаблон:Нп Шаблон:ДКД	Шаблон:Нп Шаблон:ДКД	Шаблон:Нп Шаблон:ДКД	Шаблон:Нп Шаблон:ДКД	Шаблон:Нп Шаблон:ДКД	Шаблон:Нп Шаблон:ДКД	Шаблон:Нп Шаблон:ДКД	Шаблон:Нп Шаблон:ДКД

Шаблон:Нп Шаблон:ДКД	Шаблон:Нп Шаблон:ДКД	Шаблон:Нп Шаблон:ДКД	Шаблон:Нп Шаблон:ДКД	Шаблон:Нп Шаблон:ДКД	Шаблон:Нп Шаблон:ДКД	Шаблон:Нп Шаблон:ДКД	Шаблон:Нп Шаблон:ДКД