Правильні багатовимірні многогранники

Правильний n-вимірний многогранник — многогранники n-вимірного евклідового простору, які є найбільш симетричними в деякому сенсі. Правильні тривимірні многогранники називаються також платоновими тілами.

Визначення

Прапором n-вимірного многогранника $P$ називається набір його граней $F=(F_0,F_1,\dots ,F_{n-1})$, де $F_i$ є $i$-вимірна грань многогранника Р, причому $F_i\subseteq F_{n-1}$ для $i=1,2,\dots ,n-1$.

Правильний n-вимірний многогранник — це опуклий n-вимірний многогранник $P$, у якого для будь-яких двох його прапорів $F$ і $F^{\prime }$ знайдеться рух $P$, який переводить $F$ в $F^{\prime }$.

Класифікація

В розмірності n = 4

Шаблон:Див. також Існує 6 правильних чотиривимірних многогранників (багатокомірників):

Назва	Зображення (діаграма Шлегеля)	Символ Шлефлі	Комірка	Число комірок	Число граней	Число ребер	Число вершин
5-комірник		{3,3,3}	правильний тетраедр	5	10	10	5
Тесеракт		{4,3,3}	куб	8	24	32	16
16-комірник		{3,3,4}	правильний тетраедр	16	32	24	8
24-комірник		{3,4,3}	октаедр	24	96	96	24
120-комірник		{5,3,3}	додекаедр	120	720	1200	600
600-комірник		{3,3,5}	правильний тетраедр	600	1200	720	120

В розмірності n ≥ 5

У кожній з більш високих розмірностей існує по 3 правильних многогранники (політопи):

Назва	Символ Шлефлі
n-вимірний правильний симплекс	{3;3;...;3;3}
n-вимірний гіперкуб	{4;3;...;3;3}
n-вимірний гіпероктаедр	{3;3;...;3;4}

Геометричні властивості

Кути

Двогранний кут між (n-1)-вимірними суміжними гранями правильного n-вимірного многогранника, заданого своїм символом Шлефлі $\{p_1,p_2,p_3,\dots ,p_{N-3},p_{N-2},p_{N-1}\}$, визначається за формулою

${\sin }^2\beta =\frac{{\cos }^2\frac{\pi }{p_{n-1}}}{1-\frac{{\cos }^2\frac{\pi }{p_{n-2}}}{1-\frac{{\cos }^2\frac{\pi }{p_{n-3}}}{\frac{\ddots }{1-\frac{{\cos }^2\frac{\pi }{p_3}}{1-\frac{{\cos }^2\frac{\pi }{p_2}}{1-{\cos }^2\frac{\pi }{p_1}}}}}}}$

де $\beta$ — половина кута між (n-1)-вимірними суміжними гранями правильного n-вимірного многогранника.

Радіуси, об'єми

Радіус вписаної N-вимірної сфери:

$r_N=r_{N-1}\mathrm{tg}\beta ,$

де $r_{N-1}$ — радіус вписаної (N-1)-вимірної сфери межі.

Об'єм N-вимірного многогранника:

$V_N=\frac{1}{N}{V}_{N-1}{A}_{N-1}{r}_N,$

де $V_{N-1}$ — об'єм (N-1)-вимірної межі, $A_{N-1}$ — кількість (N-1)-вимірних граней.

Замощення

В розмірності n = 4

• Шаблон:Нп
• Шаблон:Нп
• Шаблон:Нп

В розмірності n ≥ 5

• Шаблон:Нп

Див. також

• Платонове тіло
• Шаблон:Нп

Посилання

• Наочний приклад на YouTube

• Шаблон:Cite web

• Шаблон:Книга-ру

• Шаблон:Стаття