Квадратна антипризма

Шаблон:Поліедр Квадра́тна антипри́зма (антикубШаблон:Sfn) — призматоїд, у якого дві паралельні грані (основи) — рівні між собою квадрати, а решта 8 граней (бічні грані) — правильні трикутники.

Також, квадра́тна антипри́зма — чотирикутна рівностороння антипризма. Квадратні грані основ повернені одна відносно іншої на кут 45°.

Цей многогранник є напівправильним многогранником або однорідним многогранником.

А також є другим многогранником у нескінченному ряду однорідних антипризм.

Якщо вісім точок розмістити на сфері з метою максимізації відстаней між ними в певному сенсіШаблон:Уточнити, фігура, що вийшла, відповідає швидше квадратній антипризмі, ніж кубу. Специфічні методи розподілу точок включають, наприклад, Шаблон:Нп (мінімізація суми величин, обернених до відстаней між точками), максимізацію відстаней від точки до найближчої або мінімізацію суми всіх обернених квадратів відстаней між точками.

Формули

Квадратна антипризма має 12 діагоналей: 4 граневих та 8 просторових.

Якщо квадратна антипризма має ребро довжиною $a$, то довжина граневої діагоналі дорівнює $\sqrt{2}\cdot a\approx 1,4142\cdot a$;

довжина просторової діагоналі дорівнює $\sqrt{\sqrt{2}+1}\cdot a\approx 1,5538\cdot a$.

Радіус описаної сфери:

$R=\frac{1}{4}\cdot \sqrt{4+{\csc }^2(\frac{\pi }{8})}\cdot a=\frac{1}{4}\cdot \sqrt{2\cdot (4+\sqrt{2})}\cdot a\approx 0.822664388\cdot a$

Радіус напіввписаної сфери (дотична до ребер многогранника):

$\rho =\frac{1}{4}\cdot \csc (\frac{\pi }{8})\cdot a=\frac{1}{4}\cdot \sqrt{2\cdot (2+\sqrt{2})}\cdot a\approx 0.653281482\cdot a$

Об'єм правильної квадратної антипризми з довжиною ребра $a$ обчислюють за такою формулою:

$V=\frac{4\sqrt{4{\cos }^2\frac{\pi }{8}-1}\sin \frac{3\pi }{8}}{12{\sin }^2\frac{\pi }{4}}\cdot a^3=\frac{1}{3}\sqrt{4+3\sqrt{2}}\cdot a^3\approx 0.956999981\cdot a^3$ ,

а площа поверхні :

$S=\frac{1}{2}\cdot 4(\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{\pi }{4}+\sqrt{3})a^2=2\cdot (1+\sqrt{3})\cdot a^2\approx 5.464101615\cdot a^2$

(Також площу поверхні можна обчислити з урахуванням того, що розгортка складається з двох квадратів і восьми рівносторонніх трикутників).

Висота (відстань між паралельними чотирикутними гранями):

$H=\sqrt{1-\frac{1}{4}{\sec }^2(\frac{\pi }{8})}\cdot a=\frac{1}{\sqrt[4]{2}}\cdot a\approx 0.840896415\cdot a$

Кути многогранника
Двогранний кут між гранями {3} та {3}	$\alpha =\arccos (-\frac{1}{3}\cdot (2\sqrt{2}-1))$	≈ 2.2261954369 rad ≈ 127° 33′ 5.7704608497′′
Двогранний кут між гранями {3} та {4}	$\beta =\arccos (-\frac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{3})$$=\frac{\pi }{2}+\arctan \left(\frac{1}{2}\sqrt{3\sqrt{2}-4}\right)$	≈ 1.8122828829922 rad ≈ 103° 50′ 10.177725323′′
Тілесний кут при вершині		$\mathrm{\Omega }\approx 1.79377133260975$ ср
Тілесний кут, під яким квадратну грань видно з центру протилежної квадратної грані	${\mathrm{\Omega }}_1=2\pi -8\cdot \arcsin \left(\sqrt{\frac{4-\sqrt{2}}{7}}\right)$$=2\pi -8\cdot \arctan \left(\sqrt{2-\sqrt{2}}\right)$	${\mathrm{\Omega }}_1\approx 1.0570766603098$ ср
Сферичність	$\mathrm{\Psi }=\frac{\sqrt[3]{4\pi (4+3\sqrt{2})}}{2(1+\sqrt{3})}$	$\mathrm{\Psi }\approx 0.8594883$

Молекули з квадратною антипризматичною геометрією

Квадратна антипризматична молекулярна геометрія

Відповідно до теорії ВЕПВО молекулярної геометрії в хімії, яка ґрунтується на принципі максимізації відстаней між точками, квадратна антипризма є найкращою геометрією, якщо вісім пар електронів оточують центральний атом. Одна з молекул з такою геометрією — йон октафтороксенату (VI) (XeF₈²⁻) у солі Шаблон:Не перекладено. Однак ця молекула далека від ідеальної квадратної антипризмиШаблон:Sfn. Дуже мало йонів мають кубічну форму, оскільки така форма призвела б до сильного відштовхування лігандів. PaF₈³⁻ є одним із небагатьох прикладівШаблон:Sfn.

Крім того, найстійкішою алотропною формою сірки є восьмиатомні молекули S₈. Молекула S₈ має структуру на основі квадратної антипризми. У цій молекулі атоми займають вісім вершин антипризми, а вісім ребер між трикутниками відповідають ковалентному зв'язку між атомами сірки.

Узагальнення

Чотирикутна антипризма

Чотирикутна антипризма — призматоїд, у якого дві паралельні грані (основи) — рівні між собою 4-кутники, а решта 8 граней (бокові грані) — різносторонні трикутники.

Квадратна неоднорідна антипризма

Квадратна антипризма (неоднорідна) — чотирикутна антипризма, основами якої є рівні між собою квадрати, а бокові грані — рівнобедрені трикутники.

Квадратні грані основ повернені одна відносно іншої на кут 45°.

Якщо цей кут має інше значення, многогранник правильніше називати квадратною скрученою призмою (square gyroprism). В цьому випадку бокові грані — рівні між собою різносторонні трикутники.

Топологічно еквівалентні многогранники

Скручена призма (за годинниковою стрілкою або проти годинникової стрілки) може мати те саме розташування вершин. Цей многогранник можна розглядати як форму, зібрану з 4 тетраедрів з вирізаними частинами. Однак після вирізання тіло не можна розбити на тетраедри без додавання нових вершин. Тіло має половину симетрій однорідного тіла: D_n, [4,2]⁺Шаблон:Sfn.

Пов'язані многогранники

Похідні многогранники

Скручена подовжена чотирикутна піраміда — правильногранний многогранник (J₁₀ = М₂+А₄), отриманий подовженням квадратної піраміди. Так само, скручена подовжена чотирикутна біпіраміда (J₁₇ = М₂+А₄+М₂) є дельтаедром (многогранником, грані якого — правильні трикутники), побудованим заміною обох квадратів квадратної антипризми квадратними пірамідами.

Шаблон:Нп (J₈₄ = М₂₅) — інший дельтаедром, який отримують заміною двох квадратів квадратної антипризми парами рівносторонніх трикутників. Шаблон:Нп (J₈₅ = М₂₈) можна розглядати як квадратну антипризму, отриману вставленням ланцюжка рівносторонніх трикутників. Шаблон:Нп (J₈₆ = М₂₁) і Шаблон:Нп (J₈₈ = М₂₃) — інші правильногранні многогранники, які, подібно до решти квадратних антипризм, складаються з двох квадратів і парного числа рівносторонніх трикутників.

Квадратну антипризму можна зрізати та альтернувати для утворення Шаблон:Нп:

Кирпаті антипризми

Антипризма	Зрізання t	Шаблон:Не перекладено ht
s{2,8} Шаблон:ДКД	ts {2,8}	ss {2,8}

Аналогічні многогранники

Як антипризма, квадратна антипризма належить до родини многогранників, до яких входять октаедр (який можна розглядати як трикутну антипризму), п'ятикутна антипризма, шестикутна антипризма та восьмикутна антипризма. Шаблон:Однорідні антипризми

Квадратна антипризма є першою в ряду кирпатих многогранників та мозаїк із вершинною фігурою 3.3.4.3.n. Шаблон:Таблиця кирпатих мозаїк-4

В архітектурі

Всесвітній торговий центр 1

Головна будівля в комплексі Всесвітнього торгового центру (на місці старого Всесвітнього торгового центру, зруйнованого 11 вересня 2001) має форму дуже високої квадратної антипризми, що звужується до верху. Будівля не є справжньою антипризмою, оскільки вона звужується до верху — верхній квадрат має вдвічі меншу площу, ніж основа.

Див. також

• Призматичний однорідний многогранник

Література

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Посилання

• Шаблон:MathWorld
• Square Antiprism Интерактивная модель
• Virtual Reality Polyhedra Архивная копия от 23 февраля 2008 на Wayback Machine www.georgehart.com: The Encyclopedia of Polyhedra
  • VRML model
  • Conway Notation for Polyhedra Архивная копия от 29 ноября 2014 на Wayback Machine Try: «A4»