Площа поверхні

Шаблон:Числення Пло́ща пове́рхні — площа заданої поверхні. Грубо кажучи, є числовою характеристикою «кількості» поверхні. Вимірюється в квадратних одиницях довжини.

Обчислення

Якщо поверхню параметризовано, тобто, задано векторною функцією $𝐫(u,v)$, тоді площа $S$, поверхні $(u,v)\in \mathrm{\Omega }$, обчислюється за формулою:

$S=\underset{\mathrm{\Omega }}{\iint }|r_u\times r_v|dudv$,

де $r_u=\frac{\partial r}{\partial u}$ та $r_v=\frac{\partial r}{\partial v}$ — дотичні вектори, $r_u\times r_v$ — векторний добуток двох векторів.

Інший вигляд площі параметрично заданої поверхні:

$S=\underset{\mathrm{\Omega }}{\iint }\sqrt{EG-F^2}dudv$,

де $E,F,G$ — коефіцієнти першої квадратичної форми, $E=(r_u,r_u),G=(r_v,r_v),F=(r_u,r_v)$.

Якщо поверхню $\mathrm{\Omega }$ задано функцією $z=z(x,y)$ над деякою областю $(x,y)\in {\mathrm{\Omega }}^{\prime }$ (або ${\mathrm{\Omega }}^{\prime }$ є проєкцією поверхні $\mathrm{\Omega }$ на площину $xOy$), тоді

$S=\underset{\mathrm{\Omega }}{\iint }d\mathrm{\Omega }=\underset{{\mathrm{\Omega }}^{\prime }}{\iint }\sqrt{1+{\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)}^2+{\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)}^2}dxdy.$

Див. також

• Об'єм
• Парадокс маляра
• Площа
• Поверхневий інтеграл
• Поверхня обертання

Література

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр