Триакісікосаедр

Шаблон:Поліедр Триакісікосаедр (від Шаблон:Lang-grc — «тричі», Шаблон:Lang-grc2 — «двадцять» і Шаблон:Lang-grc2 — «грань») — напівправильний многогранник (каталанове тіло), двоїстий зрізаному додекаедру. Складений зі 60 однакових тупокутних рівнобедрених трикутників, у яких один із кутів дорівнює $\arccos (-\frac{3+3\sqrt{5}}{20})\approx 119,04^{\circ }$, а два інші $\arccos \frac{15+\sqrt{5}}{20}\approx 30,48^{\circ }$.

Має 32 вершини; в 12 вершинах (розташованих так само, як вершини ікосаедра) сходяться своїми гострими кутами по 10 граней, у 20 вершинах (розташованих так само, як вершини додекаедра) сходяться тупими кутами по 3 грані.

У триакісікосаедра 90 ребер — 30 довших (розташованих так само, як ребра ікосаедра) і 60 коротших (разом утворюють фігуру, ізоморфну — але не ідентичну — кістяку ромботриаконтаедра). Двогранний кут при будь-якому ребрі однаковий і дорівнює $\arccos (-\frac{24+15\sqrt{5}}{61})\approx 160,61^{\circ }$.

Триакісікосаедр можна отримати з ікосаедра, приклавши до кожної його грані правильну трикутну піраміду з основою, що дорівнює грані ікосаедра, і висотою, яка в $\frac{5\sqrt{15}+9\sqrt{3}}{2}\approx 17,48$ разів менша від сторони основи. При цьому отриманий многогранник матиме по 3 грані замість кожної з 20 граней початкового, що й пояснює його назву.

Триакісікосаедр — одне з шести каталанових тіл, у яких немає гамільтонового циклу; гамільтонового шляху у всіх шести також немає.

Метричні характеристики

Якщо коротші ребра триакісікосаедра мають довжину $a$, то його довші ребра мають довжину $\frac{1}{10}(15+\sqrt{5})a\approx 1,72a,$ а площа поверхні та об'єм виражаються як

Напіввписана сфера триакісікосаедра

$S=3\sqrt{\frac{1}{2}(173-9\sqrt{5})}{a}^2\approx 26,2285960a^2,$

$V=\frac{1}{4}(19+13\sqrt{5})a^3\approx 12,0172209a^3.$

Радіус вписаної сфери (що дотикається до всіх граней многогранника в їхніх інцентрах) при цьому дорівнює

$r=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{122}(477+199\sqrt{5})}a\approx 1,3745174a,$

радіус напіввписаної сфери (що дотикається до всіх ребер)

$\rho =\frac{1}{10}(5+4\sqrt{5})a\approx 1,3944272a.$

Описати навколо триакісікосаедра сферу — так, щоб вона проходила через усі вершини, — неможливо.

Посилання

• Шаблон:Mathworld