Простір Lp

Просторами $L^p$ в математиці називаються простори вимірних функцій, які при піднесенні до степеня $p$ (де $p⩾1$) є інтегровними за Лебегом.

$L^p$ — найважливіший клас банахових просторів. Окрім того, $L^2$ — класичний приклад гільбертового простору.

Побудова простору L^p

Визначення 1. Нехай задано простір з мірою $(X,ℱ,\mu )$. Зафіксуємо $1⩽p<\mathrm{\infty }$ і розглянемо множину вимірних функцій, визначених на цьому просторі, таких що

$\underset{X}{\int }|f(x){|}^p\mu (dx)<\mathrm{\infty }.$

Позначимо цю множину ${ℒ}^p(X,ℱ,\mu )$ або просто ${ℒ}^p$.

Теорема 1. ${ℒ}^p(X,ℱ,\mu )$ є лінійним простором. Доведення одержується з елементарних властивостей інтеграла Лебега, а також нерівності Мінковського.

На цьому лінійному просторі можна ввести напівнорму:

$\Vert f{\Vert }_p={(\underset{X}{\int }|f(x){|}^p\mu (dx))}^{\frac{1}{p}}.$

Додатність і однорідність є наслідками властивостей інтеграла Лебега, а нерівність Мінковського є нерівністю трикутника для цієї напівнорми.

Замітка 1. Введена таким чином напівнорма не є нормою, бо якщо $f(x)=0$ майже всюди, то $\Vert f{\Vert }_p=0$, що суперечить вимогам до норми. Щоб перетворити простір з напівнормою в простір з нормою, необхідно ототожнити функції, що розрізняються між собою лише на множині міри нуль.

Визначення 2. Введемо на ${ℒ}^p$ відношення еквівалентності:

$f\sim g$, якщо $f(x)=g(x)$ майже всюди.

Це відношення розбиває простір ${ℒ}^p$ на класи еквівалентності, причому напівнорми будь-яких двох представників одного і того ж класу збігаються.

Тоді на побудованому фактор-просторі (тобто множині класів еквівалентності) ${ℒ}^p/\sim$ можна ввести норму рівну напівнормі будь-якого представника даного класу. За визначенням, всі аксіоми напівнорми збережуться, і додатково через викладену побудову виявляється виконаною і додатна визначеність.

Визначення 3. Фактор-простір $({ℒ}^p/\sim ,\Vert \cdot {\Vert }_p)$ з побудованою на ньому нормою називається простором $L^p(X,ℱ,\mu )$ або просто $L^p$.

При $0<p<1$, $L_p$ не утворюють нормованого простору, оскільки не виконується нерівність трикутника (точніше, виконується зворотна нерівність трикутника: при $0<p<1$ $\mathrm{\forall }f,g\in L_p(\mathrm{\Omega }):\{\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }|f(x)+g(x){|}^{p}dx{\}}^{\frac{1}{p}}\ge \{\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }|f(x){|}^{p}dx{\}}^{\frac{1}{p}}+\{\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }|g(x){|}^{p}dx{\}}^{\frac{1}{p}}$), проте утворюють метричні простори.

Повнота простору L^p

Введена вище норма разом з лінійною структурою породжує метрику

$d(f,g)=\Vert f-g{\Vert }_p,$

а отже і поняття збіжності.

Визначення 3. Нехай є послідовність функцій $\{f_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\subset L^p$. Тоді ця послідовність збігається до функції $f\in L^p$, якщо

$\Vert f_n-f{\Vert }_p\to 0$ при $n\to \mathrm{\infty }.$

Теорема 2. Простір $L^p$ є повним, тобто будь-яка фундаментальна послідовність $L^p$ збігається до елементу цього ж простору. Таким чином, $L^p$ — банахів простір.

Простір L²

У випадку $p=2$ введена вище норма породжується скалярним добутком. Таким чином, разом з поняттям довжини тут має сенс і поняття кута, а отже і суміжні поняття, такі, як ортогональність, проєкція і ін.

Визначення 4. Введемо на просторі $L^2$ скалярний добуток таким чином:

$⟨f,g⟩=\underset{X}{\int }f(x)\overline{g(x)}\mu (dx)$

у випадку, якщо дані функції комплекснозначні, або

$⟨f,g⟩=\underset{X}{\int }f(x)g(x)\mu (dx),$

якщо вони дійсні. Тоді, очевидно:

$\Vert f{\Vert }_2=\sqrt{⟨f,f⟩},$

тобто норма породжується скалярним добутком. Використовуючи це разом з результатом про повноту будь-якого $L^p$, одержуємо:

Теорема 3. Простір $L^2$ — гільбертів.

Простір L^∞

Розглянемо простір ${ℒ}^{\mathrm{\infty }}(X,ℱ,\mu )$ вимірних функцій, обмежених майже усюди. Ототожнивши між собою функції, що розрізняються лише на множині міри нуль, і поклавши за визначенням

$\Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}\sup {\mathrm{\backslash limits}}_{x\in X}|f(x)|,$

одержуємо банахів простір.

Метрика, що породжується цією нормою, називається рівномірною. Так само називається і збіжність, породжена такою метрикою:

$f_n\to f$ у $L^{\mathrm{\infty }}$, якщо $\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}\sup {\mathrm{\backslash limits}}_{x\in X}|f_n(x)-f(x)|\to 0$ при $n\to \mathrm{\infty }$.

Властивості просторів L^p

• Із збіжності функцій майже всюди не випливає збіжність в просторі $L^p$. Нехай $f_n(x)=n^{1/p}$ при $x\in (0,1/n]$ і $f_n(x)=0$ при $x\in (1/n,1]$, $f_n\in L^p$. Тоді $f_n\to 0$ майже всюди. Але $\Vert f_n{\Vert }_p^p=\underset{0}{\overset{1}{\int }}|f_n{|}^{p}d\mu =1$. Зворотне твердження також невірне.
• Якщо $\Vert f_n-f{\Vert }_p\to 0$ при $n\to \mathrm{\infty }$, то існує підпослідовність $f_{n_k}$, така що $f_{n_k}\to f$ майже всюди.
• $L^p$ функції на числовій прямій можуть бути наближені гладкими функціями. Нехай $L_{C^{\mathrm{\infty }}}^p(ℝ,ℬ(ℝ),m)$ — підмножина $L^p(ℝ,ℬ(ℝ),m)$, що складається з нескінченно гладких функцій. Тоді $L_{C^{\mathrm{\infty }}}^p$ всюди щільна в $L^p$.
• $L^p(ℝ,ℬ(ℝ),m)$ — сепарабельний простір.
• Якщо $\mu$ — скінченна міра, наприклад, ймовірність, і $1⩽p⩽q⩽\mathrm{\infty }$, то $L^q\subset L^p$. Зокрема $L^2\subset L^1$, тобто випадкова величина зі скінченним другим моментом має скінченний перший момент.

Простори спряжені L^p

Нехай ${\left(L^p\right)}^{\star }$ є простором спряженим до $L^p$ (так званий копростір). За визначенням, елемент $g\in {\left(L^p\right)}^{\star }$ є лінійним функціоналом на $L^p$.

Теорема 4. Якщо $1<p<\mathrm{\infty }$, то ${\left(L^p\right)}^{\star }$ ізоморфний $L^q$ (пишемо ${\left(L^p\right)}^{\star }\cong L^q$), де $1/p+1/q=1$. Будь-який лінійний функціонал на $L^p$ має вигляд:

$g(f)=\underset{X}{\int }f(x)\tilde{g}(x)\mu (dx),$

де $\tilde{g}(x)\in L^q$.

Через симетрію рівняння $1/p+1/q=1$ сам простір $L^p$ є дуальним (з точністю до ізоморфізму) до $L^q$, а отже:

${\left(L^p\right)}^{\star \star }\cong L^p.$

Цей результат справедливий і для випадку $p=1$, тобто ${\left(L^1\right)}^{\star }=L^{\mathrm{\infty }}$. Проте ${\left(L^{\mathrm{\infty }}\right)}^{\star }\cong ̸L^1$ і, зокрема ${\left(L^1\right)}^{\star \star }\cong ̸L^1$.

Простори l^p, 1 ≤ p ≤ ∞

Нехай $(X,ℱ,\mu )=(\mathbb{N},2^{\mathbb{N}},m)$, де $m$ — зліченна міра на $\mathbb{N}$, тобто $m(\{n\})=1,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$. Тоді якщо $p<\mathrm{\infty }$, то й простір $L^p(\mathbb{N},2^{\mathbb{N}},m)$ є множиною послідовностей $\{x_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$, таких що

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|x_n{|}^p<\mathrm{\infty }.$

Відповідно, норма на цьому просторі задається

$\Vert x{\Vert }_p={(\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|x_n{|}^p)}^{\frac{1}{p}}.$

Одержаний нормований простір позначається $l^p$.

Якщо $p=\mathrm{\infty }$, то ми розглядаємо простір обмежених послідовностей з нормою

$\Vert x{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\sup {\mathrm{\backslash limits}}_{n\in \mathbb{N}}|x_n|.$

Одержаний нормований простір позначається $l^{\mathrm{\infty }}$. Він є прикладом несепарабельного простору.

Як і в загальному випадку, поклавши $p=2$, ми одержуємо гільбертів простір $l^2$, норма якого породжена скалярним добутком

$⟨x,y⟩=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_n\overline{y_n},$

якщо послідовності комплекснозначні, і

$⟨x,y⟩=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_n{y}_n,$

якщо вони дійсні.

Простір, дуальний $l^p$, де $1⩽p<\mathrm{\infty }$ ізоморфний $l^q$, $1/p+1/q=1$.

Див. також

• Простір Гарді
• Ін'єктивний метричний простір

Література

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Шаблон:Банах. КФА Лінійні операції
• Шаблон:Банах.Диференціальне та інтегральне числення
• Шаблон:Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч2
• Шаблон:Колмогоров.Фомин