Кососиметрична матриця

Косо-симетричною (чи антисиметричною) називають квадратну матрицю, елементи якої симетричні зі знаком мінус щодо головної діагоналі, тобто:

$\mathrm{\forall }i,j:a_{ij}=-a_{ji}.$

Тобто:

$A^T=-A.$

Поняття розглядають переважно для матриць над кільцем характеристика якого не є рівною 2. Якщо характеристика є рівною 2, то кососиметричні матриці у попередньому означенні є еквівалентними симетричним. Іноді у цьому випадку додатково вимагається умова щоб усі елементи на діагоналі були рівні 0.

Приклади

Прикладами кососиметричних матриць є

• $A=\left(\begin{array}{ccc}0& 2& -1\\ -2& 0& -4\\ 1& 4& 0\end{array}\right),$ адже $A^T=\left(\begin{array}{ccc}0& -2& 1\\ 2& 0& 4\\ -1& -4& 0\end{array}\right)=-A.$
• $A=\left(\begin{array}{ccc}0& 7& 23\\ -7& 0& -4\\ -23& 4& 0\end{array}\right)$ оскільки $A^T=\left(\begin{array}{ccc}0& -7& -23\\ 7& 0& 4\\ 23& -4& 0\end{array}\right)=-A$.

Властивості

• Сума двох кососиметричних матриць і добуток кососиметричної матриці на скаляр є кососиметричними матрицями. Тобто кососиметричні матриці утворюють лінійний підпростір простору квадратних матриць заданого порядку. Розмірність цього підпростору є рівною $\frac{1}{2}n(n-1).$
• Будь-яка квадратна матриця може в єдиний спосіб бути записаною як сума кососиметричної і симетричної матриць. А саме, якщо $A\in {\text{Mat}}_n$ то можна записати:

$A=\frac{1}{2}(A-A^{𝖳})+\frac{1}{2}(A+A^{𝖳}),$

де перший доданок є кососиметричною матрицею, а другий — симетричною.

• Для визначника кососиметричної матриці виконується рівність:

$\det \left(A^{\mathsf{\text{T}}}\right)=\det (-A)=(-1{)}^n\det (A).$

Як наслідок визначник кососиметричної матриці (характеристика елементів якої не є рівною 2) завжди є рівним 0.

• Якщо до всіх елементів матриці додати однаковий елемент, то визначник одержаної матриці буде рівним визначнику самої матриці. Тобто, якщо A є кососиметричною матрицею і E — квадратною матрицею того ж порядку усі елементи якої рівні 1, то для будь-якого x виконується рівність $\det (A+xE)=\det A.$
• Ранг кососиметричної матриці завжди парний.
• Визначник кососиметричної матриці парного порядку, як многочлен від її елементів є рівний квадрату многочлена який називається пфаффіаном матриці:

$\det (A)=\mathrm{Pf}(A{)}^2.$

Матриці з дійсними елементами

• Власні значення кососиметричної матриці із дійсними числами є уявними числами і для кожного такого власного значення його комплексне спряжене теж є власним значенням.
• Квадрат дійсної кососиметричної матриці є симетричною напіввід'ємно визначеною матрицею.
• Дійсна кососиметрична матриця є нормальною, а тому вона є діагоналізомною над полем комплексних чисел і більш того можна записати $A=U\mathrm{\Lambda }{U}^{*},$ де U є унітарною матрицею, а $\mathrm{\Lambda }$ — діагональною.
• Над полем дійсних чисел можна натомість записати: $A=Q\mathrm{\Sigma }{Q}^{\mathsf{\text{T}}}$ де $Q$ є дійсною ортогональною матрицею, а $\mathrm{\Sigma }$ має вигляд:

$\mathrm{\Sigma }=\left[\begin{array}{cccc}\begin{array}{cc}0& {\lambda }_1\\ -{\lambda }_1& 0\end{array}& 0& \cdots & 0\\ 0& \begin{array}{cc}0& {\lambda }_2\\ -{\lambda }_2& 0\end{array}& & 0\\ ⋮& & \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & \begin{array}{cc}0& {\lambda }_r\\ -{\lambda }_r& 0\end{array}\\ & & & & \begin{array}{c}0\\ & \ddots \\ & & 0\end{array}\end{array}\right]$

Дивись також

• Антисиметричний тензор
• Ермітова матриця
• Косоермітова матриця
• Пфаффіан
• Симетрична матриця
• Теорія матриць

Джерела

• Шаблон:Гантмахер.Теорія матриць